Pokaż, że zbiór jest podprzestrzenią, znajdź baze i wymiar

[matinf]

Witam,
\(\displaystyle{ X = \left\{ p \in R[x]_3 : p(-1) + p(1) = p(0) = p(2) \right\}}\)

Pokazać, żę jest to podprzestrzenią liniową w \(\displaystyle{ R[x]_3}\). Znaleźć bazę i wymiar.

[lukasz1804]

Warto przez izomorfizm utożsamić przestrzeń \(\displaystyle{ R[x]_3}\) z przestrzenią \(\displaystyle{ \RR^4}\). Izomorfizmem jest przekształcenie \(\displaystyle{ \RR^4\ni(a,b,c,d)\mapsto p(x)=ax^3+bx^2+cx+d\in R[x]_3}\).

Wtedy mamy \(\displaystyle{ X=\{(a,b,c,d)\in\RR^4: -a+b-c+d+a+b+c+d=d=8a+4b+2c+d\}}\).

A w \(\displaystyle{ \RR^4}\) łatwo sprawdzać warunek podprzestrzeni, wyznaczyć bazę i wymiar. Na koniec trzeba tylko wrócić do \(\displaystyle{ R[x]_3}\).

[matinf]

Możesz powiedzieć doklądnie co i jak ?

[lukasz1804]

Mamy \(\displaystyle{ X=\{(a,b,c,d)\in\RR^4: 2b+2d=d=8a+4b+2c+d\}=\{(a,b,c,d)\in\RR^4: 2b+d=0\wedge 8a+4b+2c=0\}=\{(a,b,c,d)\in\RR^4: d=-2b\wedge c=-4a-2b\}=\{(a,b,-4a-2b,-2b):a,b\in\RR\}=\{a(1,0,-4,0)+b(0,1,-2,-2):a,b\in\RR\}}\)

Wychodząc z postaci \(\displaystyle{ X=\{(a,b,-4a-2b,-2b):a,b\in\RR\}}\) można wykazać, że \(\displaystyle{ X}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \RR^4}\) (a tym samym także podprzestrzenią \(\displaystyle{ R[x]_3}\)).
Wystarczy zauważyć, że dla dowolnych \(\displaystyle{ s,t\in\RR}\) i dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c,d\in\RR}\) mamy \(\displaystyle{ s(a,b,-4a-2b,-2b)+t(c,d,-4c-2d,-2d)=\left(sa+tc,sb+td,-4(sa+tc)-2(sb+td),-2(sb+td)\right)\in X}\). Zatem \(\displaystyle{ X}\) jest podprzestrzenią.

Zatem bazą podprzestrzeni \(\displaystyle{ X}\) jest \(\displaystyle{ \{(1,0,-4,0),(0,1,-2,-2)\}}\) (w \(\displaystyle{ \RR^4}\)), inaczej mówiąc zbiór wielomianów \(\displaystyle{ \{x^3-4x,x^2-2x-2\}}\) (w \(\displaystyle{ R[x]_3}\)). Skoro bazę tworzą dwa wielomiany, to wymiar \(\displaystyle{ X}\) wynosi \(\displaystyle{ 2}\).

[matinf]

właśnie nie wiem, jak należy wyznaczać bazę, mają dwa równania.

Powiedz mi, jak to sie robi.

[lukasz1804]

Na ogół więcej jest niewiadomych niż równań w opisie podprzestrzeni, dlatego trzeba próbować wyznaczyć niektóre (jak najwięcej) niewiadomych w zależności od pozostałych (w rozważanym przykładzie udało się wyznaczyć \(\displaystyle{ c,d}\) w zależności od \(\displaystyle{ a,b}\)). Mając te zależności trzeba zapisać współrzędne dowolnego wektora w bazie (tu: punktu w \(\displaystyle{ \RR^4}\) lub równoważnie wzór wielomianu w \(\displaystyle{ R[x]_3}\)) w zależności od tych pozostałych niewiadomych (tu \(\displaystyle{ a,b}\)). Na koniec wystarczy zapisać otrzymany wektor jako kombinację liniową, której współczynnikami są te pozostałe niewiadome (by to otrzymać, trzeba wyłączyć poza nawias kolejne współczynniki, a powstałe wektory utworzą bazę podprzestrzeni).

Na szczegółowe rachunki spójrz ponownie do opisanego przeze mnie zbioru \(\displaystyle{ X}\) we wcześniejszej wiadomości.