Podzbiory przestrzeni wektorowej.

[1608]

Które z następujących podzbiorów przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ F(\RR,\RR)}\) są jej podprzestrzeniami,
\(\displaystyle{ \left\{ f : f(2)=f(7) \right\}}\)
Robiłem już zadania ze sprawdzaniem czy dany zbiór jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej,ale jeszcze nie spotkałem się z takim zapisem.Jak za coś takiego się zabrać?

[Kartezjusz]

Zapisz słownie co to za zbiór.

[1608]

Zbiór wszystkich funkcji które dla argumentów 2 i 7 przyjmują takie same wartości ?

[Kartezjusz]

świetnie, teraz zapisz słowinie każdy z warunków przestrzeni liniowej.

[1608]

Podzbiór jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ F(\RR,\RR)}\) wtedy i tylko wtedy kiedy element tego podzbioru pomnożony przez skalar należy do tego podziobru (to jest oczywiste że będzie to spełnione w tym przypadku?) i wtedy i tylko wtedy kiedy suma dwóch dowolnych elementów tego podzbioru należy do tego podzbioru ?
Nie za bardzo wiem jak to wszystko zapisać.

[Kartezjusz]

Dokładnie, ale zapisz to bardziej jaskrawo.

[1608]

Oznaczmy sobie \(\displaystyle{ x=f(3) i y=f(7)}\)
\(\displaystyle{ \forall \alpha \in \RR\hspace{0.5cm}\alpha x = \alpha y \Leftrightarrow x = y \Leftrightarrow f(3)=f(7)}\)
Teraz drugi warunek:
\(\displaystyle{ x+y=f(3)+f(7)}\) i nie za bardzo widzę co tu dalej zrobić?

-- 14 lis 2013, o 14:07 --

Oznaczmy sobie \(\displaystyle{ x=f(3) i y=f(7)}\)
\(\displaystyle{ \forall \alpha \in \RR\hspace{0.5cm}\alpha x = \alpha y \Leftrightarrow x = y \Leftrightarrow f(3)=f(7)}\)
Teraz drugi warunek:
\(\displaystyle{ x+y=f(3)+f(7)}\) i nie za bardzo widzę co tu dalej zrobić?

A nie tak chyba:
\(\displaystyle{ \forall \alpha \in \RR\hspace{0.5cm} \alpha x = \alpha f(3) \Rightarrow \alpha f(3) \neq f(7)}\)
I to wystarczy żeby stwierdzić że nie jest to podprzestrzeń?

[Kartezjusz]

Dobrze było, ale zaczynasz na odwrót. Bo zakładasz \(\displaystyle{ x=y}\)

[1608]

Nie rozumiem. Gdzie zaczynam na odwrót?

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ f \in W \Rightarrow x=f(3)=f(7)=y}\). Od tego zaczynasz. Potem wiuedząc to , korzystając z prawa łączności i skracania ( rozszerzania ) dla liczb rzeczywistych , wyniknie należenie kombinacji liniowej. Musisz pokazać też, że przestrzeń jest niepusta, czyli należy zero przestrzeni.

[Qń]

Zupełnie źle.

Istotnie - chcemy pokazać, że nasz zbiór jest zamknięty z uwagi na dodawanie i mnożenie przez skalar, ale przecież do naszego zbioru należą funkcje, a nie liczby, więc to funkcje należy dodawać i mnożyć przez skalar.

Rozważmy dowolne dwie funkcje \(\displaystyle{ g,h\in \left\{ f\in F(\RR,\RR) : f(2)=f(7) \right\}}\). Oznacza to rzecz jasna, że \(\displaystyle{ g(2)=g(7)}\) i \(\displaystyle{ h(2)=h(7)}\).

Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ g+h}\) oraz \(\displaystyle{ a\cdot g}\) (gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest dowolną liczbą rzeczywistą) też należą do tego zbioru. W tym celu należy wykazać, że:
\(\displaystyle{ (g+h)(2)= (g+h)(7)}\)
oraz
\(\displaystyle{ (a \cdot g)(2) = (a \cdot g)(7)}\)
I oczywiście w zasadzie nie ma tu czego wykazywać, bo to natychmiastowy wniosek z definicji dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez skalar.

Q.

[Kartezjusz]

Ja pokazałem po prostu, że ta własność jest zamknięta.

[Qń]

Ja pokazałem po prostu, że ta własność jest zamknięta.

Pojęcia nie mam co znaczy, że własność jest zamknięta, ale nic co pokazałeś w tym wątku nie przybliżało do rozwiązania problemu.

Q.

[Kartezjusz]

Własność jest zamknięta, czyli elementy, które to spełniają są zamknięte na te działania.

[Qń]

Własność jest zamknięta, czyli elementy, które to spełniają są zamknięte na te działania.

W matematyce nie ma pojęcia własności zamkniętej, ani elementów zamkniętych - jest tylko pojęcie zbioru zamkniętego z uwagi na działanie.

Q.