znaleźć jedno rozwiązanie szczególne układu równań

[Zacek]

Hej, mam problem z zadaniem, ktorego tresc brzmi nastepujaco:

Rozwiąż układ równań metodą eliminacji Gaussa i znajdź jedno rozwiązanie szczególne.

\(\displaystyle{ \begin{cases}
5x_1 + 3x_{2} + 5x_{3} + 12x_{4} = 10 \\
2x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} + 5x_{4} = 4 \\
x_{1} + 7x_{2} + 9x_{3} + 4x_{4} = 2
\end{cases}}\)

O ile pierwszą część zadania potrafię zrobić (eliminować Gaussem), to nie mam pojęcia jak
znaleźć jedno rozwiązanie szczególne. Mam do zrobienia dużo takich zadań, a dobrze byłoby mieć
chociaż jedno, które posłużyło by jako wzór:< Po wyeliminowaniu Gaussem nie wiem jak to
zadanie dalej ugryźć... Pomocy!

[Kartezjusz]

Masz cztery zmienne i trzy równania. Wstaw za \(\displaystyle{ x_{4}}\) zero, aby otrzymać zwyczajny układ równańtrzech zmiennych i trzech niewiadomych.

[Zacek]

W ten sposób rozwiązywaliśmy to zadanie na ćwiczeniach... Nie mogę zrozumieć ostatniej linijki, a konkretnie skąd się wziąło np. \(\displaystyle{ -\frac{11}{5}}\) w miejscu \(\displaystyle{ x_1}\) w ostatniej macierzy, skoro przy \(\displaystyle{ -\frac{11}{5}}\) parametr \(\displaystyle{ x_4}\) był przez cały czas. Oraz dlaczego przy niej jest \(\displaystyle{ x_2}\)

\(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{cccccc}
5&3&5&12&\left|&10 \\
2&2&3&5&\left|&4 \\
1&7&9&4&\left|&2
\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{cccccc}
1&7&9&4&\left|&2 \\
2&2&3&5&\left|&4 \\
5&3&5&12&\left|&10
\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{cccccc}
1&7&9&4&\left|&2 \\
0&-12&-15&-3&\left|&0 \\
0&-32&-40&-8&\left|&0
\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{cccccc}
1&7&9&4&\left|&2 \\
0&4&5&1&\left|&0 \\
0&4&5&1&\left|&0
\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{cccccc}
1&7&9&4&\left|&2 \\
0&4&5&1&\left|&0 \\
0&0&0&0&\left|&0
\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}
x_1 + 7x_2 + 9x_3 + 4x_4 = 2 \\
4x_2 + 5x_3 + x_4 = 0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 5x_3 = -4x_2 - x_4 \\
x_3 = -\frac{4}{5}x_2 - \frac{1}{5}x_4}\)

\(\displaystyle{ x_1 = 2 - 7x_2 - 9x_3 -4x_4 = 2 - 7x_2 - 9(- \frac{4}{5}x_2 - \frac{1}{5}x_4) =\\ = 2-7x_2 + \frac{36}{5}x_2 + \frac{9}{5}x_4 - 4x_4=\\ = 2 - \frac{35}{5}x_2 + \frac{36}{5}x_2 + \frac{9}{5}x_4 - \frac{20}{5}x_4 =\\= 2 + \frac{1}{5}x_2 - \frac{11}{5}x_4}\)

X = \(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{cccccc}
x_1 \\x_2 \\x_3 \\x_4
\end{array}\right]}\) = \(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{cccccc}
2 + \frac{1}{5}x_2 - \frac{1}{5}x_4 \\
x_2 \\
-\frac{4}{5}x_2 - \frac{1}{5}x_4 \\
x_4
\end{array}\right]}\) = \(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{cccccc}
2\\ 0 \\ 0 \\0
\end{array}\right]}\) +\(\displaystyle{ x_2}\) \(\displaystyle{ $$\left[\begin{array}{cccccc}
-\frac{11}{5}\\0 \\-\frac{1}{5} \\1
\end{array}\right]}\) <--- o tą macierz mi chodzi

[Kartezjusz]

Zgninął ci wektor przy \(\displaystyle{ x_{4}}\)