parametr, układ wektorów liniowo niezal.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
zool7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 10 lis 2013, o 00:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

parametr, układ wektorów liniowo niezal.

Post autor: zool7 »

mam problem z zadaniem:

Dla jakich wartości a \(\displaystyle{ \in R}\) układ wektorów \(\displaystyle{ (1,6,6) ^{T}, (1,8,9) ^{T}, (a,4,6) ^{T}}\) jest liniowo niezależny?

Nie wiem na czym w ogóle powinnam się skupić w tym zadaniu, czego szukać...
mogłabym chyba skorzystać z definicji i każdy z układów równań przyrównać do 0, ale nie wiem co dalej (jak zastrzec żeby układ był niezależny?)

myślałam też, żeby utworzyć macierz i metodą Gaussa-Jordana zamienić ją na jednorodną licząc ciągle z parametrem. Zostaje on w ostatniej kolumnie, więc \(\displaystyle{ K _{3}W _{1}, K _{3}W _{2}}\) przyrównałam do 0, a \(\displaystyle{ K _{3}W _{3}}\) do 1, ale to nie jest chyba dobry sposób, bo wychodzi sprzeczność ;(
Będę wdzięczna za pomoc
lukequaint
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 219
Rejestracja: 5 maja 2010, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 75 razy

parametr, układ wektorów liniowo niezal.

Post autor: lukequaint »

Układ tych wektorów będzie liniowo niezależny, gdy macierz z nich utworzona będzie miała niezerowy wyznacznik (chyba jest równy \(\displaystyle{ 6a}\)).
zool7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 10 lis 2013, o 00:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

parametr, układ wektorów liniowo niezal.

Post autor: zool7 »

mhmm, ok, dzięki
a jest jeszcze jakaś inna metoda sprawdzenia tego? (umiem liczyć wyznaczniki macierzy, ale na zajęciach tego nie było, więc pewnie jest jeszcze jakiś sposób ;p

przekształcając macierz utworzoną z tych wektorów na jednorodną mam:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&4a-2\\0&1&2-3a\\0&0&3a\end{bmatrix}}\)

czy wystarczy założyć, że 3a\(\displaystyle{ \neq}\)0? wtedy dla a\(\displaystyle{ \in}\)R/{0} ukł. wektorów jest liniowo niezależny? nie trzeba nic robić z 2-3a i 4a-2?

btw. mając macierz, gdzie liczba kolumn > liczby wierszy ukł. wektorów jest ZAWSZE liniowo zależna, dobrze myślę?
lukequaint
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 219
Rejestracja: 5 maja 2010, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 75 razy

parametr, układ wektorów liniowo niezal.

Post autor: lukequaint »

Tak. Jeśli wektory \(\displaystyle{ U,V,W}\) są liniowo zależne, to istnieją współczynniki \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\), takie że przynajmniej jeden z nich jest różny od zera oraz \(\displaystyle{ \alpha U + \beta V + \gamma W = 0}\). W podanym przez Ciebie przykładzie musiałaby istnieć kombinacja liniowa dwóch pierwszych wektorów, dająca trzeci wektor - wyjdzie \(\displaystyle{ a=0}\).

Tak, wystarczy, że \(\displaystyle{ 3a=0}\), bo wyznacznik macierzy górnotrójkątnej jest równy iloczynowi wyrazów na przekątnej.

Tak, jeśli masz \(\displaystyle{ m>n}\) wektorów w \(\displaystyle{ \RR^{n}}\), to są liniowo zależne.
zool7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 10 lis 2013, o 00:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

parametr, układ wektorów liniowo niezal.

Post autor: zool7 »

super, dzięki bardzo
ODPOWIEDZ