Wektory w trzecim wymiarze

[VillagerMTV]

Witam!
Jak sprawdzić czy wektory w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) są liniowo niezależne?

[lukequaint]

Jeśli masz dwa, \(\displaystyle{ U, V}\)wystarczy sprawdzić, czy \(\displaystyle{ (\exists \alpha \in \RR)(\alpha U = V)}\), przy trzech - wyliczyć wyznacznik macierzy z nich utworzonej - niezerowy oznacza liniową niezależność.

[VillagerMTV]

A mógłbym dostać wyjaśnienie na przykładzie?
Powiedzmy, że wektory to:
\(\displaystyle{ (2,3,4)}\) i \(\displaystyle{ (3,2,6)}\)

[lukequaint]

Mój poprzedni post wymaga odrobiny wyjaśnienia. Jeśli istnieje taka liczba rzeczywista \(\displaystyle{ \alpha}\), że dla dwóch wektorów \(\displaystyle{ U, V}\) zachodzi \(\displaystyle{ \alpha U = V}\), to wektory są liniowo zależne. Dla wektórów, które podałeś, nie istnieje taka liczba, bo musiałoby zachodzić:
\(\displaystyle{ \alpha \cdot 2 = 3 \wedge \alpha \cdot 3 = 2 \wedge \alpha \cdot 4 = 6 \Leftrightarrow \alpha = \frac{3}{2} \wedge \alpha = \frac{2}{3}}\), czyli wektory są liniowo niezależne.

Jeśli masz trzy wektory, powiedzmy:
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
-2
\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}
3\\
-1\\
0
\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
-2
\end{array}\right)}\)
tworzysz z nich macierz i liczysz jej wyznacznik:
\(\displaystyle{ \left|
\begin{array}{ccc}
1&3&0\\
2&-1&0\\
-2&0&-2
\end{array}
\right| =2+12=14}\)
i sprawdzasz czy jest niezerowy. W tym przypadku jest, zatem wektory:
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
-2
\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}
3\\
-1\\
0
\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
-2
\end{array}\right)}\)
są liniowo niezależne.

[VillagerMTV]

Wszystko piękne i jasne. Dziękuję!-- 12 lis 2013, o 23:44 --A przy wyższych wymiarach też wyznacznik musi się być 0, żeby były liniowo zależne?