Sprawdzanie czy zbiór jest podprzestrzenią

[yorgin]

Funkcje dodaje się punktowo, tzn \(\displaystyle{ (f+g)(x):=f(x)+g(x)}\).

[matinf]

\(\displaystyle{ (f+g)(x)=f(x)+g(x)}\)
To musi należeć do W, dlatego, że dodajemy dwie funkcje na o dziedzinach\(\displaystyle{ [0;1]}\). Oczywiście otrzymana funkcja w wyniku sumowania jest nadal funkcją o tej samej dziedzinie, nadal jest ciągła. Należy więc dalej do \(\displaystyle{ W}\).
Czyli: zsumowanie funkcji nie zmieni ani jej dziedziny, ani ciągłości.

[yorgin]

Owszem, ale \(\displaystyle{ W}\) jest zdefiniowane również przez warunki na końcach dziedziny. Suma dwóch funkcji również musi ten warunek spełniać.

[matinf]

\(\displaystyle{ (f+g)(0)=f(0)+g(0) = f(1) + g(1) = (f+g)(1)}\)

[yorgin]

I właśnie o to chodziło.

Zostaje jeszcze jeden warunek. Sprawdzić, czy \(\displaystyle{ \alpha\cdot f\in W}\) dla każdego \(\displaystyle{ \alpha\in \RR}\).