Sprawdzanie czy zbiór jest podprzestrzenią

matinf · Post autor: **matinf** » 12 lis 2013, o 11:08

Witam,
sprawdzić, czy \(\displaystyle{ W= \left\{f \in C_{(0,1)} : f(0) = f(1) \right\}}\)jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej
\(\displaystyle{ C_{(0,1)}}\)fcji ciągłych określonych na przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\) i i o wartościach rzeczywistych.

Wiem, że trzeba sprawdzić dwa warunki, tzn:
dla każdych dwóch wektorów z \(\displaystyle{ W}\) musi zachodzić\(\displaystyle{ w_1 + w_2 \in W}\)
dla każdego wektora z \(\displaystyle{ W}\)i skalara \(\displaystyle{ a}\) z \(\displaystyle{ K}\) (całego) musi zachodzić: \(\displaystyle{ aw \in W}\)

Ale jak się do tego zabrać ?
Jak w ogóle interpretować ten zbiór - są jakieś \(\displaystyle{ f(0) = f(1)}\)

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 12 lis 2013, o 11:15

Powinien być przedział obustronnie domknięty \(\displaystyle{ [0,1]}\). Wówczas możemy mówić o \(\displaystyle{ f(0) ; f(1)}\)

matinf · Post autor: **matinf** » 12 lis 2013, o 11:22

Ok, to załozmy ze jest zamkniętty

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 12 lis 2013, o 11:23

Świetnie. Pomyśl jakie znasz funkcje takie,że na końcach przedziałów są równe wartości. Powiedz po polsku czym jest zbiór \(\displaystyle{ W}\)

matinf · Post autor: **matinf** » 12 lis 2013, o 13:03

Są to wszysktie funkcje z R do R, takie że \(\displaystyle{ f(0) = f(1)}\) oraz są określone tylko na przediale \(\displaystyle{ [0;1]}\)
Nie wiem jak mam ruzyć

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 12 lis 2013, o 13:10

Co masz do pokazania ? Zaspisz własności podprzestrzeni do tego zadania?

matinf · Post autor: **matinf** » 13 lis 2013, o 00:20

no nie wiem jak to rozwiązać.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 13 lis 2013, o 08:34

Najpierw zapisz własności podprzestrzeni w języku tego zbioru.

matinf · Post autor: **matinf** » 13 lis 2013, o 17:44

Co masz dokładnie na myśli ?
Jakie własności podprzestrzeni ?
Tzn te, który muszą być spełnione, żeby podzbiór wektorów przestrzeni V nazwać podprzestrzenią V ?
Jeśli tak to:
Wektorami są funkcje- ale nie wiem co to dokładnie za funkcje.
Czyli nie wiem jak zapisac te dwa warunki
1) Suma dwóch wektorów z podzbioru należy do tego podzbiorów
2) iloczyn wektora z tego podzbioru przez skalar należy do tego podzbioru.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 14 lis 2013, o 08:36

Zapisz sumę dwóch funkcji i iloczyn przez skalar, popatrz na własność zbioru. Nie potrzebujesz dokładnych funkcji,ale wiesz ,że mają pewną własność.

matinf · Post autor: **matinf** » 14 lis 2013, o 15:29

ok, i tutaj pojawia się mój problem.
nie wiem jak mam wybrać taką funkcję - jasne, że własność nakazuje \(\displaystyle{ f(0)}\) i \(\displaystyle{ f(1)}\)
Ale może\(\displaystyle{ f(0,001)}\), bo dlaczego mam być tendencyjny?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 14 lis 2013, o 15:58

matinf pisze: nie wiem jak mam wybrać taką funkcję - jasne, że własność nakazuje \(\displaystyle{ f(0)}\) i \(\displaystyle{ f(1)}\)

Nie wybierasz konkretnej funkcji. Bierze dwie funkcje \(\displaystyle{ f, g\in W}\) i pokazujesz, że \(\displaystyle{ f+g\in W}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha f\in W}\). Przy czym dowód zajmuje jakieś cztery linijki odręcznego pisma i korzysta wyłącznie z postaci \(\displaystyle{ W}\).

matinf pisze: Ale może\(\displaystyle{ f(0,001)}\), bo dlaczego mam być tendencyjny?

A możesz po polsku napisać, o co chodzi?

matinf · Post autor: **matinf** » 14 lis 2013, o 16:13

Nie wiem w takim razie jak rozpisać \(\displaystyle{ f + g}\)

yorgin · Post autor: **yorgin** » 14 lis 2013, o 16:38

Ty nie masz rozpisywać \(\displaystyle{ f+g}\), tylko masz sprawdzić, czy \(\displaystyle{ f+g}\) spełnia definicję zbioru \(\displaystyle{ W}\). W oparciu o wiedzę, że \(\displaystyle{ f, g\in W}\).

matinf · Post autor: **matinf** » 14 lis 2013, o 17:02

No ok, ja wiem o tym. Ale ja nie potrafię zsumować dwóch funkcji.