Wyznacz macierz X, gdy:

[Bieniek]

Tak jak w temacie muszę wyznaczyć macierz X, gdy:

\(\displaystyle{ (2+i)}\) \(\displaystyle{ (}\) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-i\\0&i\end{bmatrix}}\)\(\displaystyle{ +X)+}\) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&i\\0&i&\end{bmatrix}}\) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&i\\-i&0&\end{bmatrix}}\) \(\displaystyle{ = X}\)

Moja próba rozwiązania:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4+2i&1-2i&\\0&-1+2i&\end{bmatrix}}\)\(\displaystyle{ +(2+i)X=}\) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&i&\\1&0&\end{bmatrix}}\) \(\displaystyle{ =X}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 6+2i&1-i&\\1&-1+2i&\end{bmatrix}}\) \(\displaystyle{ =X-(2+i)X}\)

Nie wiem, co mam dalej robić.

[Kartezjusz]

Jak liczyłeś?

[Bieniek]

1. Zawartość całego nawiasu pomnożyłem przez 2+i
2. Niewiadome dałem na prawo, a po lewej wykonałem odejmowanie dwóch macierzy

[Kartezjusz]

W drugiej linijce drugiego postu nie masz czasem za dużo znaków równości?
\(\displaystyle{ X= 1 \cdot X}\)Prawo rozdzielności...

[rtuszyns]

A więc po kolei:

Mamy równanie postaci

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4+2i&1-2i&\\0&-1+2i&\end{bmatrix}+(2+i)X+\begin{bmatrix} 2&i&\\1&0&\end{bmatrix}=X}\)

Niech

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4+2i&1-2i&\\0&-1+2i&\end{bmatrix}=A}\)

i
\(\displaystyle{ (2+i)=\alpha}\)

oraz
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&i&\\1&0&\end{bmatrix}=B}\)

Mamy zatem postać:

\(\displaystyle{ A+\alpha X+B=X}\)

Wyznaczamy \(\displaystyle{ X}\) w następujący sposób:

\(\displaystyle{ \alpha X-X=-(B+A)\\
X(\alpha I-I)=-(B+A)\\
X(\alpha I-I)(\alpha I-I)^{-1}=-(B+A)(\alpha I-I)^{-1}}\)

gdzie \(\displaystyle{ I}\) oznacza macierz jednostkową

Ostatecznie mamy

\(\displaystyle{ X=-(B+A)(\alpha I-I)^{-1}}\)

[Kartezjusz]

Po co grzebiesz się w macierzach jednostkowych? Macierze tworzą na \(\displaystyle{ mathbb{C}}\) przestrzeń liniową, czyli wektor możesz wyjąć przed nawias.

[Bieniek]

Dalej coś mi jednak nie wychodzi.
Wiem tylko że wynik to:

\(\displaystyle{ X}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4i-8&2i&\\i-1&-3i-1&\end{bmatrix}}\)

[Kartezjusz]

Pokaż co Tobie wychodzi?

[Bieniek]

Mi wychodzi niewiele, dochodzę do tego momentu:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 6+2i&1-i&\\1&-1+2i&\end{bmatrix}}\) \(\displaystyle{ =X-(2+i)X}\)

Pomoc od użytkownika rtuszyns na ten moment nie jest zbytnio pomocna, ponieważ nie miałem jeszcze macierzy odwrotnych i ten przykład powinien być do rozwiązania bez takiej macierzy.
Czy może faktycznie i macierz odwrotna to jedyne rozwiązanie?

Wolfram podpowiada mi w ten sposób:

\(\displaystyle{ X-(2+i)X}\) \(\displaystyle{ = (-1-i)X}\)
Nie wiem skąd bierze się taka równość

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ X-(2+i)X=X(1-2-i)X}\)Zasada rozdzielności.

[rtuszyns]

Pomoc od użytkownika rtuszyns na ten moment nie jest zbytnio pomocna, ponieważ nie miałem jeszcze macierzy odwrotnych i ten przykład powinien być do rozwiązania bez takiej macierzy.

Nie napisałeś na samym początku, że nie trzeba używać macierzy odwrotnych lub, że jeszcze macierzy odwrotnych nie miałeś...