wektory rozpinające przestzeń

[matinf]

Witam,
co znaczy, że wektory rozpinają przestrzeń w \(\displaystyle{ R^3}\) i jak sprawdzić czy jakieś wektory rozpinają przestrzeń ?

[smigol]

TO znaczy, że każdy wektor z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) jest kombinacją liniową tych wektorów rozpinających.

[Kartezjusz]

Czyli masz sprawdzić czy dla każdego wektoru \(\displaystyle{ x \in R^{3}}\) istnieją skalary \(\displaystyle{ a,b,c}\),że
jeśli mają rozpinać to wektory\(\displaystyle{ u,w,z}\) to układ równań \(\displaystyle{ au+bw+cz=x}\) musi mieć conajmniej jedno rozwiązanie. To w praktyce oznacza u nas niesprzeczność układu równań trzech zmiennych z trzema niewiadomymi.

[matinf]

Ok, jeszcze kilka pytań kontrolnych
1. Ogólniej. Wektory rozpinają przestrzeń \(\displaystyle{ K^n}\). I założmy, że to są \(\displaystyle{ v_1, v_2,.., v_n}\).
Oczywiście musi być ich \(\displaystyle{ n}\) ( czy może być więcej / mniej ?)
Teraz Gdybyśmy wzięli dowolny (każdy wektor ) tej przestrzeni to musi on być kombinacją linową tych
\(\displaystyle{ v_1, v_2,.., v_n}\). I musi zachodzić dosłownie dla każdego wektora przestrzeni - czyli także dla tych \(\displaystyle{ v_1,..,v_n}\)
I jak sprawdzić czy każdy wektor jest kombinacją liniową tych wyszczegolnionych domniemanie rozpinających.
Trzeba wybrać dowolny z przestrzeni, po czym sprówać zawsze dobrać takie skalary, żeby zachodziło rownanie kombinacji. Jeśli takie skalary isntnieją, to faktycznie te wektory rozpinają przestrzeń.

Ok ?


PS, a jak to wszystko się ma co do podprzestrzeni ?

[yorgin]

1. Ogólniej. Wektory rozpinają przestrzeń \(\displaystyle{ K^n}\). I założmy, że to są \(\displaystyle{ v_1, v_2,.., v_n}\).
Oczywiście musi być ich \(\displaystyle{ n}\) ( czy może być więcej / mniej ?)

Może być ich więcej. W szczególności można za wektory rozpinające wziąć całe \(\displaystyle{ K^n}\). Mniej jak \(\displaystyle{ n}\) nie można brać.

Teraz Gdybyśmy wzięli dowolny (każdy wektor ) tej przestrzeni to musi on być kombinacją linową tych
\(\displaystyle{ v_1, v_2,.., v_n}\). I musi zachodzić dosłownie dla każdego wektora przestrzeni - czyli także dla tych \(\displaystyle{ v_1,..,v_n}\)

Zgadza się.

I jak sprawdzić czy każdy wektor jest kombinacją liniową tych wyszczegolnionych domniemanie rozpinających.
Trzeba wybrać dowolny z przestrzeni, po czym sprówać zawsze dobrać takie skalary, żeby zachodziło rownanie kombinacji. Jeśli takie skalary isntnieją, to faktycznie te wektory rozpinają przestrzeń.

Tak.

Dla przestrzeni skończenie wymiarowych jest to proste, gdyż jeżeli masz \(\displaystyle{ n}\) liniowo niezależnych wektorów rozpinających, to są one jednocześnie bazą przestrzeni \(\displaystyle{ K^n}\). A więc rozpinają całe \(\displaystyle{ K^n}\).

[matinf]

Hmmm, w takim razie jeśli mamy \(\displaystyle{ n}\) wektorów i one rozpinają przestzreń n-wymiarową to będą one na pewno liniowo niezależne ?
Co dokładnie znaczy, ze wektory są liniowo niezależne ?

[Kartezjusz]

Zacznę od drugiego. Wektory \(\displaystyle{ x_{i} ; 1 \le i \le n}\) są liniowo niezależne jeśli jedyny ciąg skalarów\(\displaystyle{ a_{i} ; 1 \le i \le n}\) dla którego \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}=0}\) jest ciągiem samych zer. a w pierwszym muszą być niezależne, bo w przestrzeni \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowej zawsze znajdziemy \(\displaystyle{ n}\) wektorów niezależnych . Jeśli zatem mamy wektory zależne, do nie uzyskamy brakujących niezależnych

[matinf]

Czyli w szczególności jeśli układ jest liniowo niezależny, to wektory zerowy jest kombinacją tego układu wektorów, przy czym żaden z wektrów tego ukladu nie jest wektorem zerowym ?

A baza czym jest?

[Kartezjusz]

Nie. Właśnie z niezależności masz ,że muszą być użyte tylko zera przy uzyskiwaniu wektora zerowego.

[yorgin]

A baza czym jest?

Jest liniowo niezależnym zbiorem wektorów rozpinających przestrzeń wektorową.

[matinf]

@Kartezjusz. Ale ja właśnie miałem na myśli, że przy uzyskiwaniu wektora zerowego muszą buć użyte same zera, ale w sensie skalarów
O co chodzi ?

[Kartezjusz]

Właśnie to. .Wektor zerowy nie jest elementem żadnej bazy.

[matinf]

ok, w takim razie:
1) Skoro baza jest liniowo niezależnym zbiorem rozpinającym przestrzeń, to każdy wektor jest kombinacją liniową wektorów z bazy.


Dalej prosiłbym o wytłumaczenie tej liniowej niezależności.
Jak ona się ma do kombinacji liniowej?

[smigol]

Ano tak, że dzięki liniowej niezależności każdy wektor można przedstawić jako kombinację liniową wektorów z bazy w sposób jednoznaczny.

[matinf]

Co to znaczy w sposób jednoznaczny ?