O wektorach \(\displaystyle{ U,V,W\in \mathbb{R}^2}\) wiadomo, że ich długości wynoszą: \(\displaystyle{ ||U||= \sqrt{13}, ||V||=\sqrt{5}, ||W||=\sqrt{10}}\), natomiast iloczyny skalarne pomiędzy nimi: \(\displaystyle{ \left\langle U,V \right\rangle=-4, \left\langle V,W \right\rangle=-1, \left\langle W,U \right\rangle =-9}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ U+V+W=\vec{0}}\).
Proszę o podpowiedź jak zacząć. Próbowałem rozpisywać każdy wektor w ten sposób \(\displaystyle{ U= { u_{1} \choose u_{2} }}\), ale później wychodzą 2 układy trzech równań z 6 niewiadomymi, pewnie do rozwiązania, ale musi być inny sposób.
Suma wektorów równa 0
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Suma wektorów równa 0
Mamy udowodnić, że \(\displaystyle{ \vec{U}+\vec{V}+\vec{W}=\vec{0}}\). Wystarczy udowodnić, zatem, że
\(\displaystyle{ \left(\vec{U}+\vec{V}+\vec{W})\circ\left(\vec{U}+\vec{V}+\vec{W})=0}\).
Mamy dalej
\(\displaystyle{ \vec{U}\circ\vec{U}+\vec{U}\circ\vec{V}+\vec{U}\circ\vec{W}+\vec{V}\circ\vec{U}+\vec{V}\circ\vec{V}+\vec{V}\circ\vec{W}+\vec{W}\circ\vec{U}+\vec{W}\circ\vec{V}+\vec{W}\circ\vec{W}=0}\)
Iloczyny skalarne mamy podane, dalej \(\displaystyle{ \vec{X}\circ\vec{X}=||\vec{X}||^2}\) i dostaniemy
\(\displaystyle{ 13-4-9-4+5-1-9-1+10=0}\)
\(\displaystyle{ 28-28=0}\)
No i gotowe.
\(\displaystyle{ \left(\vec{U}+\vec{V}+\vec{W})\circ\left(\vec{U}+\vec{V}+\vec{W})=0}\).
Mamy dalej
\(\displaystyle{ \vec{U}\circ\vec{U}+\vec{U}\circ\vec{V}+\vec{U}\circ\vec{W}+\vec{V}\circ\vec{U}+\vec{V}\circ\vec{V}+\vec{V}\circ\vec{W}+\vec{W}\circ\vec{U}+\vec{W}\circ\vec{V}+\vec{W}\circ\vec{W}=0}\)
Iloczyny skalarne mamy podane, dalej \(\displaystyle{ \vec{X}\circ\vec{X}=||\vec{X}||^2}\) i dostaniemy
\(\displaystyle{ 13-4-9-4+5-1-9-1+10=0}\)
\(\displaystyle{ 28-28=0}\)
No i gotowe.
-
sardom
- Użytkownik
- Posty: 40
- Rejestracja: 25 lis 2012, o 10:06
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
Suma wektorów równa 0
Już sobie poradziłem.
Wiemy, że \(\displaystyle{ \left\langle D,D\right\rangle =0 \Leftrightarrow D=0}\)
Niech \(\displaystyle{ D=U+V+W}\)
Wówczas \(\displaystyle{ \langle D,D \rangle= \langle U+V+W, U+V+W \rangle \stackrel{[*]}{=}||U||^2+||V||^2+||W||^2 +2\langle U,V \rangle +2\langle U,W \rangle + 2\langle W,V \rangle = 13+5+10-8-2-18=0}\).
Stąd wynika, że \(\displaystyle{ D= U+V+W=0}\)
\(\displaystyle{ *}\) Skorzystałem tu z dwuliniowości iloczynu skalarnego.
Dzięki za szybką odpowiedź, ale w momencie gdy wysłałem treść zadania i przeczytałem ją sobie jeszcze raz, to wpadłem właśnie na ten pomysł, a że z LATEXem się dopiero zapoznaję, to mi trochę zajęło czasu zanim tu napisałem.-- 11 lis 2013, o 14:06 --Mam jeszcze dwa zadania co do których nie wiem co zrobić. Poproszę o jakieś wskazówki na początek.
1) Jaka jest największa możliwa długość wektora \(\displaystyle{ A}\), jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ |\langle {1 \choose 1} ,A \rangle| \le 1}\) i \(\displaystyle{ |\langle {1 \choose 2} ,A \rangle | \le 1}\)?
2)Niech \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 100& \frac{401}{200} \\50&1\end{bmatrix}}\). Udowodnij, że dla dowolnego\(\displaystyle{ X \in \mathbb{R}^2}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \det\left( A^nX,A ^{n+1} X\right) =0}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ \left\langle D,D\right\rangle =0 \Leftrightarrow D=0}\)
Niech \(\displaystyle{ D=U+V+W}\)
Wówczas \(\displaystyle{ \langle D,D \rangle= \langle U+V+W, U+V+W \rangle \stackrel{[*]}{=}||U||^2+||V||^2+||W||^2 +2\langle U,V \rangle +2\langle U,W \rangle + 2\langle W,V \rangle = 13+5+10-8-2-18=0}\).
Stąd wynika, że \(\displaystyle{ D= U+V+W=0}\)
\(\displaystyle{ *}\) Skorzystałem tu z dwuliniowości iloczynu skalarnego.
Dzięki za szybką odpowiedź, ale w momencie gdy wysłałem treść zadania i przeczytałem ją sobie jeszcze raz, to wpadłem właśnie na ten pomysł, a że z LATEXem się dopiero zapoznaję, to mi trochę zajęło czasu zanim tu napisałem.-- 11 lis 2013, o 14:06 --Mam jeszcze dwa zadania co do których nie wiem co zrobić. Poproszę o jakieś wskazówki na początek.
1) Jaka jest największa możliwa długość wektora \(\displaystyle{ A}\), jeśli wiadomo, że \(\displaystyle{ |\langle {1 \choose 1} ,A \rangle| \le 1}\) i \(\displaystyle{ |\langle {1 \choose 2} ,A \rangle | \le 1}\)?
2)Niech \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 100& \frac{401}{200} \\50&1\end{bmatrix}}\). Udowodnij, że dla dowolnego\(\displaystyle{ X \in \mathbb{R}^2}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \det\left( A^nX,A ^{n+1} X\right) =0}\)