Treść zadania : Wykazać, że podzbiór \(\displaystyle{ W}\) przestrzeni \(\displaystyle{ R^{n}}\) jest podprzestrzenią wektorową \(\displaystyle{ \Leftrightarrow \vec{0} \in W}\) oraz \(\displaystyle{ ( \alpha \vec{x}+ \vec{y}) \in W}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ \alpha \in R}\) i wszystkich \(\displaystyle{ \vec{x} , \vec{y} \in W}\).
Moje rozważania:
No więc podzbiór \(\displaystyle{ W}\) będzie podprzestrzenią wektorową gdy spełni następujące warunki:
1) \(\displaystyle{ \vec{x} + \vec{y} \in W}\)dla każdego \(\displaystyle{ x,y \in W}\)
2) Dla \(\displaystyle{ \alpha \in W}\)oraz dla \(\displaystyle{ x \in R^{n} : \alpha x \in W}\)
(?)
Z warunku równoważnego mogę więc wnioskować że podzbiór \(\displaystyle{ W}\) będzie podprzestrzenią wektorową gdy dla dowolnego \(\displaystyle{ x,y \in W}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha \in R}\) zachodzi \(\displaystyle{ \alpha x + y \in W}\) ?
Co zrobić z tym wektorem zerowym? Czy moje rozumowanie jest prawidłowe, czy zbyt skrótowe i jak to w ogóle zapisać prawidłowo? Proszę o podpowiedzi.
Wszystkie \(\displaystyle{ x,y}\) to rzecz jasna wektory..