rozw. układ równań metodą Gaussa-Jordana

[zool7]

Witam!
Mam problem z jednym przykładem dot. rozwiązywania układów równań metodą Gaussa-Jordana

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-y+z=-1\\
-2x+y+2z=2\end{cases}}\)

wydaje się prosty, rozwiązując go jednym sposobem otrzymuje poprawny wynik, innym - niestety nie, chciałabym wiedziec co robię źle, żeby już nie powtarzac tego błędu.

Będę wdzięczna za pomoc w rozwiazaniu tego przykladu zaczynając od zamiany kolumny 1. z 3. (bo właśnie z tym sposobem mam problem.

Poprawna odp to:
\(\displaystyle{ x= - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} a\\
y=a\\
z= \frac{1}{3}}\)

[Jonarz]

O wiele prościej (moim zdaniem) jest wziąć \(\displaystyle{ x=a}\), wtedy \(\displaystyle{ z=1}\) (nawet gdy dodasz równania stronami w podstawowej postaci, otrzymasz taki wynik, dlatego nie za bardzo wiem skąd w odpowiedzi \(\displaystyle{ z= \frac{1}{3}}\)) i \(\displaystyle{ y=2a}\).

[zool7]

Przepraszam, pomyliłam znaki przy z, teraz się zgadza, i wtedy faktycznie po dodaniu stronami z= \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\). dzięki za odp, nie zauważyłam, że tak standardowo można to zrobic i dzięki temu sprawdzic.
Chodzi mi jednak o rozwiązanie równania wspomnianym sposobem, bo rozwiązywałam przykład kilka razy i ciągle jest coś nie tak.

U mnie wygląda to tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&1&-1\\-2&1&2&2\end{bmatrix}K _{1} \Leftrightarrow K_{3} \sim
\begin{bmatrix} 1&-1&2&-1\\2&1&-2&2\end{bmatrix} W _{2}-2W _{1} \sim
\begin{bmatrix} 1&-1&2&-1\\0&3&-6&4\end{bmatrix} /W _{2}:3 \sim
\begin{bmatrix} 1&-1&2&-1\\0&1&-2& \frac{4}{3} \end{bmatrix} W _{1}+W _{2} \sim
\begin{bmatrix} 1&0&0& \frac{1}{3} \\0&1&-2& \frac{4}{3} \end{bmatrix}

więc:
\begin{cases} x=a \\ y= \frac{4}{3} + 2a \\ z= \frac{1}{3} \end{cases}}\)

dlaczego wychodzi inaczej? ;(

[Jonarz]

Szczerze mówiąc - nie znam podanej przez Ciebie metody, ale WolframAlpha potwierdza, że Twoje rozwiązanie jest poprawne:
... y%2B2z%3D2
W odpowiedziach jest: \(\displaystyle{ y=a}\), u Ciebie \(\displaystyle{ x=a}\), stąd różnice.

[zool7]

hmm, u mnie x=a, bo kolumna odpowiadająca za współczynniki przy x \(\displaystyle{ ( K_{3})}\) nie jest "fragmentem" macierzy jednorodnej tak jak \(\displaystyle{ K_{1} i K_{2}}\), więc podstawiam za x dowolną liczbę.

Wychodzi na to, że oba rozwiązania są poprawne, w zależności za co podstawimy zmienną, czy za x czy y... jest to możliwe?

[Jonarz]

Ja rozwiązując tego typu równania korzystam z twierdzenia Kroneckera-Capelli'ego.
Liczę rząd macierzy głównej:
\(\displaystyle{ r\begin{bmatrix} 2&-1&1\\-2&1&2\end{bmatrix}=2, \ bo \left|\begin{array}{ccc}-1&1\\1&2\end{array}\right|=-3 \neq 0}\)
Liczę rząd macierzy rozszerzonej:
\(\displaystyle{ r\begin{bmatrix} 2&-1&1&-1\\-2&1&2&2\end{bmatrix}=2}\)
(Rząd macierzy rozszerzonej ma rząd równy co najmniej rzędowi macierzy głównej, a z rozmiarów w tym wypadku nie może być większy niż 2)

\(\displaystyle{ r(A)=r(A_b)=k}\)
\(\displaystyle{ n}\) - liczba niewiadomych
\(\displaystyle{ n-k=3-2=1 \ \leftarrow}\)rozwiązanie zależy od tylu parametrów

Jeśli za parametr weźmiemy \(\displaystyle{ x=a}\), otrzymamy (rozwiązując układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi - \(\displaystyle{ y, \ z}\)):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=a \\ y= \frac{4}{3} + 2a \\ z= \frac{1}{3} \end{cases}}\)

Jeśli za parametr weźmiemy \(\displaystyle{ y=a}\), otrzymamy (rozwiązując układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi - \(\displaystyle{ x, \ z}\)):
\(\displaystyle{ \begin{cases}x= - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} a\\ y=a\\ z= \frac{1}{3} \end{cases}}\)

Wychodzi na to, że oba rozwiązania są poprawne, w zależności za co podstawimy zmienną, czy za x czy y... jest to możliwe?

Oczywiście, że tak

[zool7]

aaaa, już teraz wszystko jasne
dzięki za pomoc!