Podprzestrzenie i suma prosta

[Mruczek]

Niech \(\displaystyle{ a, b \in \mathbb {R }}\). W \(\displaystyle{ \mathbb {R } ^{3}}\) dane są podprzestrzenie:

\(\displaystyle{ U=\left\{ x \in \mathbb {R } ^{3} : x_{1} - 2x _{2} + x_{3} =0 \right\}}\)
\(\displaystyle{ V=span \left(\left[ 2,a-1,0 \right] ^{T} ,\left[ 1,1,b\right] ^{T} \right)}\)

Dla jakich wartości \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\)
\(\displaystyle{ \mathbb {R } ^{3}=U+V}\),
\(\displaystyle{ \mathbb {R } ^{3}=U \oplus V}\) ?

Czy dobrze rozumiem, że w przypadku \(\displaystyle{ \mathbb {R } ^{3}=U \oplus V}\) mam wyznaczyć takie \(\displaystyle{ V}\), że \(\displaystyle{ dim (V)=3- dim(U)=1}\) oraz \(\displaystyle{ U \cap V=0}\) ? Czy odpowiedzią jest \(\displaystyle{ a=3}\), \(\displaystyle{ b=0}\) ?
Co z pierwszym przypadkiem?

[norwimaj]

Przypadek drugi rozwiązany sprytnie i dobrze.

W pierwszym wystarczy, że \(\displaystyle{ V\not\subset U}\), czyli \(\displaystyle{ 2-2(a-1)\neq0}\) lub \(\displaystyle{ 1-2\cdot1+b\ne0}\). Wtedy przestrzeń \(\displaystyle{ U+V}\) jest co najmniej trójwymiarowa, więc jest równa \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\).