Podprzestrzeń ciągów arytmetycznych

[Mruczek]

Zbiór wszystkich ciągów arytmetycznych o wyrazach rzeczywistych tworzy podprzestrzeń liniową. Określ jej wymiar i podaj bazę.

Wymiarem będzie 2.

[nowheredense_man]

rozważmy dwa ciągi arytmetyczne o wyrazach ogólnych:
\(\displaystyle{ a_n=1}\) i \(\displaystyle{ b_n=n-1}\)
Dla dowolnego ciągu arytmetycznego o wyrazie \(\displaystyle{ x_n=x_1+(n-1)r}\) mamy:
\(\displaystyle{ x_n=x_1\cdot a_n+rb_n}\), czyli dowolny ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest kombinacją liniową ciągów \(\displaystyle{ (a_n)}\) i \(\displaystyle{ (b_n)}\), trzeba pokazać teraz, że ten układ jest liniowo niezależny