Rząd macierzy z parametrem

[Sewar]

Witam !
Mam 2 podpunkty w których trzeba znaleźć rząd macierzy w zależności od parametru p. Za każdym razem wychodzi mi wynik niezgodny z odpowiedziami i nie wiem dlaczego...

1)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&p&2\\1&-2&7+p\\1&2+2p&-3-p\end{array}\ \right]}\)
odpowiedź: rząd jest równy \(\displaystyle{ 2}\) dla każdego \(\displaystyle{ p \in R}\)

Wyznacznik stopnia \(\displaystyle{ 3}\) równy jest \(\displaystyle{ 0}\), więc rząd macierzy nigdy nie jest równy \(\displaystyle{ 3}\).
Biorą po kolei wyznaczniki stopnia \(\displaystyle{ 2}\) i każdy wychodzi mi w jakiejś formie ze zmienną \(\displaystyle{ p}\). Wynika z tego, że zawsze jest jakieś \(\displaystyle{ p}\), które sprawia, że rząd jest równy \(\displaystyle{ 1}\) dla tego \(\displaystyle{ p}\).

2)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}p&-p&1&-p\\-2&2&-2&2\\3&p&3&p\\p&1&p&1\end{array}\ \right]}\)
odpowiedź: dla \(\displaystyle{ p = 2}\) rząd jest równy \(\displaystyle{ 2}\), w pozostałych przypadkach rząd jest równy \(\displaystyle{ 3}\)

Wyznacznik stopnia \(\displaystyle{ 4}\) jest równy \(\displaystyle{ 0}\), więc rząd macierzy nigdy nie jest równy \(\displaystyle{ 4}\).
Biorę dwa wyznaczniki stopnia \(\displaystyle{ 3}\) i są one równe \(\displaystyle{ 0}\). Biorę trzeci wyznacznik stopnia \(\displaystyle{ 3}\) i nie jest równy zero, ale \(\displaystyle{ p}\) ma wartości inne niż w odpowiedziach.

Czy mógłby mi ktoś wskazać wyznaczniki niższych stopni które nie są równe \(\displaystyle{ 0}\)?

Pozdrawiam !

[Jonarz]

Najprościej jest skorzystać z rozwinięcia Laplace'a i obliczyć wyznacznik, który w pierwszym przykładzie jest zawsze równy zero (nie zależy od parametru p).

W drugim wypadku należy zauważyć, że druga i czwarta kolumna są proporcjonalne (a dokładniej - identyczne), więc wykreślenie jednej z nich nie ma wpływu na rząd macierzy. Otrzymujemy macierz 3x3 i znowu korzystamy z rozwinięcia Laplace'a, liczymy wyznacznik, który tym razem będzie zależny od p, tak więc - gdy p będzie miejscem zerowym równania, które otrzymamy - wyznacznik będzie równy zero, więc dla tych przypadków rząd będzie równy 2, zaś dla pozostałych 3.