wykazać że
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}x _4-x_1 &y_4-y_1&z_4-z_1\\x _3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\\x_4&y_4&z_4&1\end{vmatrix}}\)
Otrzymamy ją łatwo poprzez zastosowanie operacji elementarnych na wyznaczniku po prawej:
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\\x_4&y_4&z_4&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x_1&y_1&z_1&1\\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1&0\\x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-y_1&0\\x_4-x_1&y_4-y_1&z_4-z_1&0\end{vmatrix}}\)
(od wierszy drugiego, trzeciego i czwartego odejmujemy pierwszy wiersz).
Teraz możemy rozwinąć względem czwartej kolumny. Dostaniemy:
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}x_1&y_1&z_1&1\\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1&0\\x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-y_1&0\\x_4-x_1&y_4-y_1&z_4-z_1&0\end{vmatrix}=(-1)^{4+1}\begin{vmatrix}x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-y_1\\x_4-x_1&y_4-y_1&z_4-z_1\end{vmatrix}+0-0+0}\)
Zamieniając miejscami pierwszy i trzeci wiersz musimy zmienić znak wyznacznika, a więc:
\(\displaystyle{ -\begin{vmatrix}x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-y_1\\x_4-x_1&y_4-y_1&z_4-z_1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x_4-x_1&y_4-y_1&z_4-z_1\\x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-y_1\\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\end{vmatrix}}\)
czy to zadanie jest dobrze rozwiązane?
Wykazać równość wyznaczników.
-
pawel296
- Użytkownik
- Posty: 71
- Rejestracja: 13 paź 2013, o 18:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 8 razy
Wykazać równość wyznaczników.
Ostatnio zmieniony 6 lis 2013, o 16:26 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: "III 5.5 [Temat] Nie może składać się tylko ze słów: "Udowodnij, że...", "Zadanie", "Problem" itp." Regulamin Forum - http://matematyka.pl/regulamin.htm
Powód: "III 5.5 [Temat] Nie może składać się tylko ze słów: "Udowodnij, że...", "Zadanie", "Problem" itp." Regulamin Forum - http://matematyka.pl/regulamin.htm
