Macierze - dowody

[squared]

Mam trzy dowody do rozwiązania, proszę o wskazówki, może pomogą mi samemu je dalej rozwiązać.
\(\displaystyle{ 1)}\) Niech \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) będą macierzami kwadratowymi. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ AB=BA}\) to spełniony jest wzór:
\(\displaystyle{ (A+B)^n=\sum_{i=1}^{n} {n \choose i} A^iB^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ 2)}\) Wyznaczyć macierz \(\displaystyle{ A \in M_2 (\mathbb{R})}\) taką, że \(\displaystyle{ A^{100} = I}\) i \(\displaystyle{ A^k \neq I}\) dla \(\displaystyle{ 0<k<100}\).
3)Udowodnić, że każda macierz odwracalna posiada dokładnie jedną macierz odwrotną.

[yorgin]

1) Indukcja względem \(\displaystyle{ n}\). Całe rozumowanie wygląda tak samo jak dowód dwumianu Newtona dla liczb.

2) Znajdź macierz obrotu o kąt \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{100}}\).

3) Nie wprost. Niech \(\displaystyle{ A}\) posiada dwie macierze odwrotne \(\displaystyle{ B, C}\). Wtedy \(\displaystyle{ B=B(AC)=\ldots}\)

[squared]

Dziękuję za pomoc. Tylko z drugim nie wiem, bo nie znam pojęcia macierzy obrotu i nie bardzo wiem, jak to odnieść, do tego zadania.

No i mam jeszcze takie zadanie:
Niech macierz \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą kwadratową, taką że \(\displaystyle{ A^0=\mathbb{O}}\). Udowodnić, że macierze \(\displaystyle{ A+E}\) oraz \(\displaystyle{ A-E}\) są odwracalne.

Jedyny pomysł, to wymnożyć obie macierze przez siebie i wtedy mi wyszło \(\displaystyle{ -E}\), które jest odwracalne. Ale nie wiem, czy istnieje twierdzenie mówiące, że iloczyn 2 macierzy odwracalnych też jest macierzą odwracalną.

[AiDi]

Dziękuję za pomoc. Tylko z drugim nie wiem, bo nie znam pojęcia macierzy obrotu i nie bardzo wiem, jak to odnieść, do tego zadania.

Poszukaj na Wikipedii, żeby dostać dokładną postać tej macierzy. Macierz obrotu to, jak nazwa wskazuje, macierz transformacji liniowej będącej obrotem wektorów na płaszczyźnie o pewien kąt. Mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowania - jak złożymy dwa obroty o jakieś dwa kąty, to otrzymamy jeden obrót o sumę tych kątów. Jak złożymy 100 razy obrót o kąt \(\displaystyle{ 2\pi/100}\) to otrzymamy obrót o \(\displaystyle{ 2\pi}\), czyli transformację identycznościową. Czyli setna potęga macierzy obrotu o ten kąt da nam macierz jednostkową.

Konkretniej to poszukaj info o grupie \(\displaystyle{ SO(2)}\), jak inaczej nie znajdziesz.

[squared]

O to chodzi?


No, ale czy dobrze rozumiem, dla macierzy \(\displaystyle{ 2x2}\) mogę sobie mnożenie macierzy zastąpić obrotem? Bo nie bardzo rozumiem istotę tego pojęcia.

No a w tym przypadku to ma być macierz jak w podanym linku i kąt podstawić \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{100}}\)?

[AiDi]

Tak, w ten sposób podstawić kąt.


Obrót na płaszczyźnie jest transformacją liniową, i jak pewnie wiesz, transformacjom liniowym odpowiadają macierze (po wybraniu bazy w przestrzeni liniowej). Zatem obrotowi o pewien kąt odpowiada macierz jak tam na Wikipedii namalowano Oznaczmy ją \(\displaystyle{ R(\varphi)}\). Składając dwa obroty o pewne kąty otrzymamy jeden obrót o kąt będący sumą tamtych kątów. Zatem \(\displaystyle{ R(\varphi)R(\psi)=R(\varphi+\psi)}\). No, zatem mamy w szczególności coś takiego: \(\displaystyle{ R^2(\varphi)=R(\varphi)R(\varphi)=R(\varphi+\varphi)=R(2\varphi)}\). To samo dla dowolnej potęgi.