Teoretyczne pytania odnośnie przestrzeni

[matinf]

Witam,
Chciałbym tutaj skorygować swoje rozumienie różnych pojęc, ale i zadać kilka pytań.

Przestrzeń liniowa to jakiś zbiór \(\displaystyle{ V}\). W tym zbiorze siedzą wektory, tzn krotki. Elementy, które budują te krotki to skalary, tzn elementy ciała \(\displaystyle{ K}\), nad którym zbudowana jest przestrzeń \(\displaystyle{ V}\).
Mamy oczywiście określone działania plus i razy w w tym zbiorze \(\displaystyle{ V}\) - spełniamy odpowiednie aksjomaty- czyli jest to przestrzeń liniowa.
Jeszcze raz - \(\displaystyle{ V}\) to zbiór wektorów (krotek elementów - skalarów ciała \(\displaystyle{ K}\)).

I teraz I pytanie. Ile elementów ma wektor (krotka, ciąg) w danej przestrzeni liniowej ??

[Kartezjusz]

To jest duuuużo ogólniejsze pojęcie. Rozszerza się nie tylko na " krotki" jak to fajnie nazwałeś., czyli ściśle \(\displaystyle{ n}\)- uporządkowane z działaniami po współrzędnych i mnożenia przez liczbę.
Przestrzeń liniowa to jest ściśle piątka uporządkowana:
1.NiepustyZbiór \(\displaystyle{ V}\) wektorów
2.Ciało \(\displaystyle{ K}\) skalarów
3.Działanie wewnętrzne\(\displaystyle{ +}\) na \(\displaystyle{ V}\),ktore jest grupą
4.Działanie pozwalajace wiązać skalary i wektory ( odpowiednik mnożenia wektora przez skalar)
5.Element \(\displaystyle{ \theta}\) neutralny na \(\displaystyle{ V}\)

Teraz dokładasz te aksjomaty. One są kodeksem postępowania, jakich praw muszą te składniki przestrzegać .
Przestrzenią liniową jest też przestrzeń funkcji o wartościach rzeczywistych z dodawaniem po wartościach mnożeniem przez liczby na ciałem liczb rzeczywistych z elementem neutralnym funkcją zerową. A tych raczej "krotką " się nie nazwie

To zależy od tego, jaka jest przestrzeń. czasami wektormoże być liczbą, czasami dwójką, czasami ciągiem, czyli mieć nieskończenie wiele składowych, a czasem ciężko mówić o składowych ,jeśli weźmiemy ten przykład z funkcjami....

[matinf]

Hmm, czyli w takim razie jak rozumieć pojęcie wektora/skalara.

[Kartezjusz]

Wektor, to jest element z \(\displaystyle{ V}\)
skalar- element z\(\displaystyle{ K}\)