Dana jest przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{C}^2}\) z iloczynem skalarnym \(\displaystyle{ \langle \cdot , \cdot \rangle}\) antyliniowym na pierwszym miejscu i liniowym na drugim. Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie dowolną macierzą zespoloną wymiaru \(\displaystyle{ 2 \times 2.}\) Dla jakich macierzy \(\displaystyle{ A}\) równanie
\(\displaystyle{ \langle x , Ax \rangle=0,}\)
gdzie \(\displaystyle{ x=[x_1,x_2]^T, x_1,x_2 \in \mathbb{C}, |x_1|^2+|x_2|^2=1}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań? Utożsamiamy rozwiązania \(\displaystyle{ x,y}\) takie, że \(\displaystyle{ y=\alpha x}\) dla pewnego \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{C}.}\)
Przypuszczam, że są to tylko macierze z wyrazami na jednej z przekątnych pewnej bazie ortonormalnej ale nie wiem jak to udowodnić.
