macierz całkowitoliczbowa, obraz wektora niewymiernego

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
aopsmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 3 lis 2013, o 21:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Worty

macierz całkowitoliczbowa, obraz wektora niewymiernego

Post autor: aopsmm »

Załóżmy, że \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą liniowego endomorfizmu \(\displaystyle{ R^n}\), ma ona jedynie współrzędne całkowitoliczbowe, wyznacznik 1 i nie ma wartości własnych (zespolonych) o module 1. Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie takim wektorem, że istnieje wektor całkowitoliczbowy \(\displaystyle{ k}\), że \(\displaystyle{ Ax = x + k}\). Przypuszczam, że to oznacza już, że \(\displaystyle{ x}\) ma współrzędne wymierne, ale niespecjalnie wiem jak zabrać się do dowodu (właściwie to samej tezy też nie jestem w 100% pewien). Dalsza hipoteza jest taka, że gdy \(\displaystyle{ x}\) nie jest wymierny, to jeśli wezmę kolejne iteracje działania \(\displaystyle{ A}\) na \(\displaystyle{ x}\) to powinienem dostać zbiór gęsty w kostce jednostkowej (biorąc części ułamkowe każdej współrzędnej), ale to już kompletny strzał. Będę wdzięczny za wszelkie sugestie co do ewentualnej metody dowodu.-- 3 lis 2013, o 22:19 --ok, na pierwsze pytanie znalazlem juz odpowiedz - \(\displaystyle{ A - Id}\) jest odwracalna i ma odwrotnosc o wspolczynnikach wymiernych, wiec obrazem wektora \(\displaystyle{ k}\) bedzie wektor o wspolrzednych wymiernych, pozostaje jednak drugie pytanie - czy jesli wezme wektor o jakiejs wspolrzednej niewymiernej to czy musze juz dostac gesta orbite?
ODPOWIEDZ