Witam,
Pomimo przeanalizowania definicji bazy, jądra, tego czym jest rozkład wektora w bazie itp. nie jestem w stanie do końca tego zrozumieć. Czy moglibyście mi to w przystępny sposób przybliżyć?
Mam do zrobienia taki dowód (zapewne dość elementarny, ale bez zrozumienia definicji nie jestem w stanie go zrobić). Nie do końca rozumiem też, co to znaczy, że rozkład jest jednoznaczny (czy oznacza to, że wektor można przedstawić tylko i wyłącznie w jeden sposób?)
Wykaż że rozkład dowolnego wektora w ustalonej bazie przestrzeni liniowej jest jednoznaczny.
Czy dobrze rozumiem, że np. układ wersorów \(\displaystyle{ \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\), bo każdy wektor można zapisać za ich pomocą? Np. \(\displaystyle{ \vec{v}=[1,2,-1]}\) można zapisać jako \(\displaystyle{ \vec{v}=1 \cdot \vec{i} + 2 \cdot \vec{j} - 1 \cdot \vec{k}}\)?
Dowód - jednoznaczność rozkładu wektora w bazie
-
Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Dowód - jednoznaczność rozkładu wektora w bazie
Niech \(\displaystyle{ \{x_i\colon i\in I\}}\) będzie bazą przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) oraz
\(\displaystyle{ x = \sum_{i\in I}a_ix_i =\sum_{i\in I}b_i x_i}\)
dla pewnych skalarów \(\displaystyle{ a_i, b_i\;(i\in I)}\). Mamy
\(\displaystyle{ 0 = x-x = \sum_{i\in I}(a_i-b_i)x_i}\)
Ponieważ wektory \(\displaystyle{ \{x_i\colon i\in I\}}\) są liniowo niezależne, mamy
\(\displaystyle{ a_i - b_i = 0}\)
dla każdego \(\displaystyle{ i\in I}\), tj. \(\displaystyle{ a_i = b_i\;(i\in I)}\).
\(\displaystyle{ x = \sum_{i\in I}a_ix_i =\sum_{i\in I}b_i x_i}\)
dla pewnych skalarów \(\displaystyle{ a_i, b_i\;(i\in I)}\). Mamy
\(\displaystyle{ 0 = x-x = \sum_{i\in I}(a_i-b_i)x_i}\)
Ponieważ wektory \(\displaystyle{ \{x_i\colon i\in I\}}\) są liniowo niezależne, mamy
\(\displaystyle{ a_i - b_i = 0}\)
dla każdego \(\displaystyle{ i\in I}\), tj. \(\displaystyle{ a_i = b_i\;(i\in I)}\).