kilka zadań z algebry

[tukanik]

Cześć
Proszę o pomoc z tymi zadaniami:

1. Niech \(\displaystyle{ A=(a_{ij})}\) i \(\displaystyle{ A= (a'_{ij})}\) będą dwiema macierzami kwadratowymi stopnia n o wyznacznikach odpowiednio \(\displaystyle{ \Delta}\) i \(\displaystyle{ \Delta'}\)

Znajdź związek między \(\displaystyle{ \Delta}\) i \(\displaystyle{ \Delta '}\), jeśli:

a) \(\displaystyle{ a'_{ij} =2^{i-j}a_{ij}}\)
b) \(\displaystyle{ a'_{ij} = a_{n+1 - i, j}}\)
c)\(\displaystyle{ a'_{ij} = a_{n+1-i, n+1-j}}\)

2. Pokaż, że \(\displaystyle{ det {AB} = det A \cdot det B}\)

3.

Pokaż, że dla dowolnej macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ A}\) istnieją takie macierze \(\displaystyle{ L}\) oraz \(\displaystyle{ R}\), że \(\displaystyle{ B = (b_{ij}) = L \cdot A \cdot R}\) jest macierzą trójkątną górną (czyli \(\displaystyle{ b_{ij} = 0}\) jeśli \(\displaystyle{ j < i}\)) oraz ponadto \(\displaystyle{ \det L = \det R = 1}\). Bazując na tej metodzie ile trzeba wykonać operacji, aby
otrzymać wyznacznik macierzy?

4. Oblicz \(\displaystyle{ e^A}\), gdzie

1) \(\displaystyle{ A =\left[\begin{array}{ccc}2&1\\-4&-2\end{array}\right]}\)

2)\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}0&1&2\\0&0&6\\0&0&0\end{array}\right]}\)

[void_t]

Ad1. Rozpisz sobie na przykładzie co sie dzieje, a nastepnie zastanow jak to wpływa na wyznacznik (jeśli jeszcze tego nie zrobiłeś).

Ad4. Z definicji. Hint: macierze są nilpotentne.

[robertm19]

Ad 2, dowód jest na .

[tukanik]

\(\displaystyle{ Ad4. Z definicji. Hint: macierze są nilpotentne.}\)
Z której definicji, możesz wskazać bardziej konkretnie?
A co z 3.?

[void_t]

Z definicji \(\displaystyle{ \exp(A)}\) gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą. Poszukaj.