wyznacznik macierzy

[pawel296]

obliczyć wyznacznik macierzy A

\(\displaystyle{ A= \left|\begin{array}{cccc} 2&3&-3&4\\2&1&-1&2\\6&2&1&0\\2&3&0&-5\end{array}\right|= ^{W _{1}-W _{4} }=}\)

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc} 2&3&-3&4\\2&1&-1&2\\6&2&1&0\\0&0&-3&-9\end{array}\right|= -3 \cdot (-1) ^{4+3} \cdot \left|\begin{array}{ccc} 2&3&4\\2&1&2\\6&2&0\end{array}\right| -9 \cdot (-1) ^{4+4} \cdot \left|\begin{array}{ccc} 2&3&-3\\2&1&-1\\6&2&1\end{array}\right|=}\)

\(\displaystyle{ =
-3(2 \cdot 1 \cdot 0+3 \cdot 2 \cdot 6+4 \cdot 2 \cdot 2-4 \cdot 1 \cdot 6-2 \cdot 2 \cdot 2-3 \cdot 2 \cdot 0)
- 9(2 \cdot 1 \cdot 1+3 \cdot (-1) \cdot 6+(-3) \cdot 2 \cdot 2-(-3) \cdot 1 \cdot 6-2 \cdot (-1) \cdot 2-3 \cdot 2 \cdot 1)}\)

co z tym dalej zrobić? i czy to jest dobrze do tego momentu zrobione?

[Scruffy]

Po pierwsze odejmujesz \(\displaystyle{ W_{4} - W_{1}}\). Niestety popełniłeś przy tym błąd - na dole ma być \(\displaystyle{ 3}\)
\(\displaystyle{ A= \left|\begin{array}{cccc} 2&3&-3&4\\2&1&-1&2\\6&2&1&0\\2&3&0&-5\end{array}\right|= ^{W _{4}-W _{1} }=\left|\begin{array}{cccc} 2&3&-3&4\\2&1&-1&2\\6&2&1&0\\0&0&3&-9\end{array}\right|}\)

Teraz warto do kolumny nr \(\displaystyle{ 4}\) dodać \(\displaystyle{ 3}\) razy pomnożoną kolumnę nr \(\displaystyle{ 3}\). Będzie Ci się zdecydowanie łatwiej liczyło wyznacznik.

[Gouranga]

Jeśli chce ci się babrać z rozwinięciem Laplace'a to tak rób, ale polecam ci przerzucić się na Chió
\(\displaystyle{ \det A= \left|\begin{array}{cccc}
2 & 3 & -3 & 4\\
2 & 1 & -1 & 2\\
6 & 2 & 1 & 0\\
2 & 3 & 0 & -5
\end{array}\right| = \frac{1}{4} \left|\begin{array}{ccc}
-4 & 4 & -4\\
-14 & 20 & -24\\
0 & 6 & -18
\end{array}\right|}\)
a wyznacznik 3x3 już łatwo

[pawel296]

\(\displaystyle{ A= \left|\begin{array}{cccc} 2&3&-3&4\\2&1&-1&2\\6&2&1&0\\2&3&0&-5\end{array}\right|= ^{W _{4}-W _{1} }=\left|\begin{array}{cccc} 2&3&-3&4\\2&1&-1&2\\6&2&1&0\\0&0&3&-9\end{array}\right|= ^{K _{4}-3K _{3} }= \left|\begin{array}{cccc} 2&3&-3&-6\\2&1&-1&1\\6&2&1&3\\0&0&3&0\end{array}\right|}\)

\(\displaystyle{ 3 \cdot (-1) ^{4+3} \left|\begin{array}{ccc} 2&3&-6\\2&1&1\\6&2&3\end{array}\right|= -3 (2 \cdot 1 \cdot 3+3 \cdot 1 \cdot 6+(-6) \cdot 2 \cdot 2-(-6) \cdot 1 \cdot 6-2 \cdot 1 \cdot 3- \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3)= -48}\)

teraz chyba dobrze? a co do metody chio to za mało informacji w necie.

[Scruffy]

Niestety źle, wartość minora wynosi : \(\displaystyle{ 14}\).
\(\displaystyle{ -3 [ 6 -24 + 18 +36 -4 - 18 ] = -3 \cdot 14 = -42}\)

[pawel296]

na 3 kalkulatorach wyznacznik wyszedł 48 ( więc na pewno nie jest to 14) a u mnie jest -48 więc gdzieś popełniłem błąd ze znakami, tylko gdzie?

[Mariusz M]

Ponadto źle dodał te kolumny
Rozwinięcia Laplace można używac bez wykonywania operacji elementarnych (mnożenia macierzy)
W pierwszej wiadomości źle odjąłeś wiersze (patrz element \(\displaystyle{ a_{43}}\)) i stąd ta zmiana znaku

W twojej pierwszej wiadomości wychodzi

\(\displaystyle{ -3 \cdot 20-9 \cdot \left( -12\right) =-60+108=48}\)

Źle odjąłeś wiersze a póżniej źle policzyłeś wyznaczniki

[Gouranga]

do metody Chió nie potrzebujesz dużo informacji
tworzysz wyznacznik rozmiaru o 1 mniejszego a jego elementy liczysz z małych wyznaczników 2x2, zobacz

\(\displaystyle{ \det A = \left|\begin{array}{ccc}
a_{1,1} & \ldots & a_{1,n}\\
\vdots & & \vdots\\
a_{n, 1} & \ldots & a_{n,n}\end{array}\right| = \frac{1}{a_{1,1}^2} \left|\begin{array}{ccc}
\left|\begin{array}{cc}
a_{1,1} & a_{1,2}\\
a_{2,1} & a_{2,2}
\end{array}\right| & \ldots & \left|\begin{array}{cc}
a_{1,1} & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,n}
\end{array}\right|\\
\vdots & \left|\begin{array}{cc}
a_{1,1} & a_{1,j}\\
a_{i,1} & a_{i,j}\end{array}\right| & \vdots \\
\left|\begin{array}{cc}
a_{1,1} & a_{1,2}\\
a_{n,1} & a_{n,2}\end{array}\right| & \ldots & \left|\begin{array}{cc}
a_{1,1} & a_{1,n}\\
a_{n,1} & a_{n,n}\end{array}\right|
\end{array}\right|}\)