Równania macierzy

[Morfi777]

odszukać macierz \(\displaystyle{ B}\) w równaniu \(\displaystyle{ AB = C}\) można dokonać na dwa (mi znane) sposoby

pierwszy
\(\displaystyle{ AB = C \\
A^{-1}AB = A^{-1}C \\
B = A^{-1}C}\)
I policzyć

drugi, przy użyciu metody eliminacji gaussa
\(\displaystyle{ AB = C \\
B = \left[A|C\right]}\)
I policzyć

teraz dwie sprawy
1) Dlaczego druga metoda działa, skąd to się wzięło? (widziałem to na przykładzie)
2) Jak policzyć \(\displaystyle{ A}\) mając \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) na przykładzie było pokazane, że \(\displaystyle{ A = \left[C|B\right]}\) chociaż nie wiem czy do końca tak jest?


Dzięki!

[bartek118]

Obydwie metody to dokładnie to samo. Eliminacja Gaussa działa, ponieważ każda elementarna operacja jest mnożeniem przez macierz, a skoro robisz to obok na macierzy identycznościowej (no w Twoim wypadku na trochę innej, ale mniejsza z tym akurat - idea taka sama), to skoro w pierwotnej macierzy dostaniesz identyczność, to tam obok po identycznych operacjach musiała Ci wyjść odwrotna.

Formalnie, trzeba te macierze po prostu rozpisać na wyrazy i wszystko ładnie policzyć.

[Morfi777]

Hej.

No wlaśnie nie wychodzi mi to samo

Przykład:
\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] \\
B = \left[\begin{array}{cc}2&4\\2&-1\end{array}\right] \\
C = \left[\begin{array}{cc}1&-1\\3&-1\end{array}\right]}\)

sposob z przykladu (ten ktorego nie rozumiem) tj \(\displaystyle{ A= \left[C|B\right]}\) chociaz rozumiem, ze chodzi o to zeby wykonać takie operacje na \(\displaystyle{ C}\) aby stworzyc z niej macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]}\) i jednoczesnie wykonywac takie same operacje na \(\displaystyle{ B}\), ale dalej nie wiem dlaczego wykonywanie tych samych operacji na \(\displaystyle{ B}\) ma dać wynik \(\displaystyle{ A}\)

wracajac do przykładu, \(\displaystyle{ A= \left[C|B\right]}\) daje
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&-1\\3&-1\end{array}\vline\begin{array}{cc}2&4\\2&-1\end{array}\right] \\
\left[\begin{array}{cc}1&-1\\0&2\end{array}\vline\begin{array}{cc}2&4\\-4&-13\end{array}\right] \\
\left[\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\end{array}\vline\begin{array}{cc}2&4\\-2&-\frac{13}{2}\end{array}\right] \\
\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\vline\begin{array}{cc}0&-\frac{5}{2}\\-2&-\frac{13}{2}\end{array}\right] \\
A = \left[\begin{array}{cc}0&-\frac{5}{2}\\-2&-\frac{13}{2}\end{array}\right]}\)

To jest prawidłowy wynik (wg książki), natomiast robiąc to "klasycznym sposobem" \(\displaystyle{ AB=C}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2&4\\2&-1\end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}1&-1\\3&-1\end{array}\right] \\
2a + 2b = 1 \\
4a - b = -1 \\
2c + 2d = 3 \\
4c - d = -1 \\
\\
a = -\frac{1}{10} \\
b = \frac{3}{5} \\
c = \frac{11}{14} \\
d = \frac{5}{7} \\
A = \left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{10} &\frac{3}{5}\\\frac{11}{14}&\frac{5}{7}\end{array}\right]}\)

pewnie robię jakąś straszliwą głupotę, ale nie wiem niestety co to jest =(

Dzięki