Dowód faktu o projekcji

[johnny1591]

Witam,

mam problem z poniższym zadaniem.

Przez \(\displaystyle{ P}\) oznaczmy projekcję(rzutowanie) przestrzeni liniowej\(\displaystyle{ X}\) na jej podprzestrzeń\(\displaystyle{ L}\).
Wtedy \(\displaystyle{ I-P}\) też jest projekcją (\(\displaystyle{ I= id_{X})}\).

Chodzi o pokazanie poniższego rozkładu.

\(\displaystyle{ X=L \oplus M}\)

\(\displaystyle{ L=R(P)=N(I-P)}\)
\(\displaystyle{ M=N(P)=R(I-P)}\)

Przez \(\displaystyle{ N(P)}\) rozumie się jądro \(\displaystyle{ P}\).
Przez\(\displaystyle{ R(P)}\) rozumie się obraz \(\displaystyle{ P}\).

Bardzo proszę o pomoc, nie za bardzo wiem jak uzasadnić takowy rozkład.

[Spektralny]

\(\displaystyle{ I = P + (I-P)}\) skąd \(\displaystyle{ x = Px + (I-P)x}\). Ponadto, \(\displaystyle{ N(P) = \{x\colon Px=0\}}\). Gdy \(\displaystyle{ x\in R(I-P)}\) to \(\displaystyle{ x=(I-P)x}\) czyli \(\displaystyle{ Px = P(I-P)x=0x=0}\). Stąd \(\displaystyle{ R(I-P)\subseteq N(P)}\). W drugą stronę, jeżeli \(\displaystyle{ x\in N(P)}\), to \(\displaystyle{ (I-P)x = x-Px=x-0=x}\) czyli \(\displaystyle{ x\in R(I-P)}\).

[johnny1591]

Dziękuję bardzo.
Drugą równość rozpatrzyłem podobnie.