Dowód - delta Kroneckera, symbol antysymetryczny

[Assassin-Girl]

Witam. Mam do przeprowadzenia taki dowód:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{2} \epsilon_{ik}\epsilon_{jk} = \delta_{ij}}\)

Nie mam w ogóle pojęcia jak się za niego wziąć. W sumie to nawet nie wiem czy umieściłam go w dobrym dziale. ^^ W każdym razie przeglądałam wykład, ale wiele mi nie pomógł.

Za wszelkie wskazówki będę wdzięczna.

[bartek118]

A co to jest \(\displaystyle{ e_{ik}}\)?

[ares41]

\(\displaystyle{ \epsilon_{ik}}\) to dwuindeksowy symbol permutacyjny.
Nie lubię sum, więc zapiszę to w konwencji sumacyjnej, gdzie zmienność indeksów ustalamy na zbiór \(\displaystyle{ \{1,2\}}\).
Mamy pokazać, że \(\displaystyle{ \epsilon_{ik}\epsilon^{jk}=\delta_{i}^{j}}\).
Łatwo zauważyć, że gdy \(\displaystyle{ i=j}\) to jeden składnik sumy jest zerem, a drugi jedynką, więc \(\displaystyle{ \epsilon_{ik}\epsilon^{ik}=1}\)
Jeśli \(\displaystyle{ i\neq j}\) to każdy ze składników się zeruje ze względu na zerową wartość \(\displaystyle{ \epsilon_{\alpha \alpha}}\), więc w tym przypadku \(\displaystyle{ \epsilon_{ik}\epsilon^{jk}=0,}\). Stąd wynika teza.

[astreven]

Pozwolę sobie odkopać temat. Skąd wiemy w tym zadaniu, że indeksy \(\displaystyle{ i, j \in \left\{ 1; 2\right\}}\)? Iteracja przebiega tylko po \(\displaystyle{ k}\), więc czy \(\displaystyle{ i, j}\) nie mogą być dowolne? Tylko wtedy np. dla \(\displaystyle{ i = 3; j = 3}\) mamy \(\displaystyle{ \epsilon_{31} \epsilon_{31} + \epsilon_{32} \epsilon_{32} = (-1) \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 2 \neq \delta_{33} = 1}\)

Jeśli to nie problem, proszę o wyjaśnienie, ponieważ niewiele udało mi się znaleźć w materiałach z wykładu czy książkach na temat związku delty Kroneckera z symbolem zupełnie antysymetrycznym poza paroma wzorami, które niezbyt potrafię udowodnić (jak powyższy).

Z góry dziękuję i pozdrawiam!