Witam, mam problem z tym oto układem równań macierzy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x+y+z=0 \\
-2x+3y-3z=0 \\
-x+4y-2z=0 \end{cases}}\)
Wyszło mi ze rząd macierzy A równa się 2 tak samo jak rząd macierzy Uzupełnionej a liczba wyrazów wolnych jest większa od rzędu macierzy, czyli układ jest nieoznaczony .Mam prośbę, jeśli ktoś mógłby mi rozpisać krok po kroku jak to rozwiązać to byłbym wdzięczny.
układ równań nieoznaczony macierzy
układ równań nieoznaczony macierzy
Ostatnio zmieniony 24 paź 2013, o 21:22 przez bakala12, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Poprawa wiadomości. Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
układ równań nieoznaczony macierzy
Nietrudno zauważyć, że drugie równanie otrzymamy odejmując pierwsze od trzeciego (które równanie jest zależne od pozostałych i tak zawsze wyjdzie przy liczeniu rzędów, któryś wiersz macierzy musi się wyzerować).
Odrzucamy zatem drugie równanie i dostajemy
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x+y+z=0\\
-x+4y-2z=0\end{cases}}\)
Teraz możemy zauważyć, że niezerowy minor stopnia drugiego tworzą współczynniki przy \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), a zatem \(\displaystyle{ z}\) przenosimy na prawą stronę otrzymując
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x+y=-z\\
-x+4y=2z\end{cases}}\)
Rozwiązujemy ten układ równań (traktując \(\displaystyle{ z}\) jako parametr) dowolną metodą, ja np. dodam stronami
\(\displaystyle{ 5y=z}\)
\(\displaystyle{ y=\frac15z}\)
Wstawiam do pierwszego i mam
\(\displaystyle{ x+\frac15z=-z}\)
\(\displaystyle{ x=-\frac65z}\)
W miejsce \(\displaystyle{ z}\) podstawiam parametr \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\) i otrzymuję jednoparametrową rodzinę rozwiązań
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=-\frac65t\\y=\frac15t\\z=t\end{cases}}\)
Odrzucamy zatem drugie równanie i dostajemy
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x+y+z=0\\
-x+4y-2z=0\end{cases}}\)
Teraz możemy zauważyć, że niezerowy minor stopnia drugiego tworzą współczynniki przy \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), a zatem \(\displaystyle{ z}\) przenosimy na prawą stronę otrzymując
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x+y=-z\\
-x+4y=2z\end{cases}}\)
Rozwiązujemy ten układ równań (traktując \(\displaystyle{ z}\) jako parametr) dowolną metodą, ja np. dodam stronami
\(\displaystyle{ 5y=z}\)
\(\displaystyle{ y=\frac15z}\)
Wstawiam do pierwszego i mam
\(\displaystyle{ x+\frac15z=-z}\)
\(\displaystyle{ x=-\frac65z}\)
W miejsce \(\displaystyle{ z}\) podstawiam parametr \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\) i otrzymuję jednoparametrową rodzinę rozwiązań
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=-\frac65t\\y=\frac15t\\z=t\end{cases}}\)