Czy i kiedy podany zbiór jest podprzestrzenią liniową?

[MatmaQ]

Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie przestrzenią liniową wszystkich funkcji \(\displaystyle{ f : R \rightarrow R}\) nad ciałem \(\displaystyle{ R}\). Rozważamy tu następujacy zbiór
\(\displaystyle{ U = \left\{ h \in X: h(x) = \neq 0\right\}}\) dla skonczenie wielu \(\displaystyle{ x.}\) Czy i kiedy ten zbiór będzie podprzestrzenią liniową?
Oprócz tego jeszcze jedno zadanko, które siedzi na tyle mojej głowy od dłuższego czasu.

Dane są liczby rzeczywiste
\(\displaystyle{ a,b,c,d,e \in R}\). W \(\displaystyle{ R ^{5}}\) dany jest zbiór

\(\displaystyle{ V=\left\{ \left( x _{1},...,x _{5} \right) \in R ^{5}: x_{1}-2x_{2}+x_{3}-3x_{4}+x_{5} = 0 \right\}}\)

Znaleźć układ liniowo niezależnych wektorów rozpinających \(\displaystyle{ V}\)

O ile w poprzednim zadaniu (inny topic) coś-tam wykombinowałem, to tutaj jestem tabula rasa, dlatego założyłem osobny topic. Za każdą wskazówkę będę wdzięczny.

-- 24 paź 2013, o 21:03 --

Szczególnie mi zależy tak naprawdę na rozwiązaniu drugiego zadania.

Zacząłem się bowiem za nie brać i dochodzę do bialej gorączki.


Bo tak. Układ wektorów \(\displaystyle{ x_1,...,x_5}\) rozpina przestrzeń \(\displaystyle{ V}\), jeśli \(\displaystyle{ V = lin(x_1,...,x_5)}\). Lin to zbiór wszystkich kombinacji wektorów \(\displaystyle{ x_1,...,x_5}\). Ale \(\displaystyle{ V}\) to zbiór takich elementów, że \(\displaystyle{ x_1-x_2+x_3-3x_4+x_5= 0}\)! Czyli zbiór wektorów liniowo zależnych. Albo czegoś tu nie trybię w definicjach (i proszę o wypunktowanie tego w łopatologiczny sposób, żebym mógł pójść spać spokojnie), albo tu jest sprzeczność w treści zadania (w co wątpię)

Proszę o pilne wsparcie, bo mam zwyczaj załamywać się, kiedy nie wiem, czego nie wiem.

-- 24 paź 2013, o 21:41 --

Będę się z Wami dzielić tokiem mojego rozumowania na bieżąco zamiast na kartce papieru, to może na coś wpadnę, tym bardziej, że o tej porze nikt tego forum nie czyta, jak patrzyłem po logach przed sekundą.

Więc sobie wykoncypowałem trywialny układ wektorów opiewającyna \(\displaystyle{ 1,0,0,0,0 0,1,0,0,0}\) itd.
Przecież ten układ musi być liniowo niezależny. No ok, ale on rozpina \(\displaystyle{ R ^{5}}\) , a nie \(\displaystyle{ V}\). To poszukuję takiego układu, że zbiór kombinacji liniowych tych wektorów niezależnych liniowo da elementy, takie, że pierwszy + trzeci + piąty - dwa drugie i trzy czwarte da zero. Zatem układ wektorów podany wcześniej odpada. No, ale, jeśli wezmę takie wektory, że dwie współrzędne będą niezerowe, to trudno znaleźć taki układ, który jeszcze będzie liniowo niezależny. To, co jeszcze udało mi się wykminić, to układ zależny, ale taki, że jak jego się pomnoży przez podane w treści współczynniki, to się wyzeruje. Bębni mi po głowie, że można taki układ zależny zredukować do jakiegoś niezależnego, ale nie wiem, jak się za to zabrać. Układ ten zależny się prezentuje bardzo prosto:
\(\displaystyle{ (1,-1,0,0,0)}\)
\(\displaystyle{ (0,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},0,0)}\)
\(\displaystyle{ (0,0,1,-1,0)}\)
\(\displaystyle{ (0,0,0,-\frac{1}{3},\frac{1}{3})}\)
\(\displaystyle{ (-1,0,0,0,1)}\).
Przeczytałem teraz o schodkowaniu macierzy (uczę się trochę tego przedmiotu na wariackich papierach, pewnie tego stresu dałoby radę uniknąć przy mniejszej ilości snu). No, ale znów, schodkując macierz, dostanę przecież macierz zerową, bo układ jest liniowo zależny, więc jestem w kropce. Teraz się może trochę ostudzę (kto by pomyślał, że matma może powodować takie emocje). Z grubsza to wylatechuję, ale szczegółowo tego nie zrobię, bo mi się trochę ręce trzęsą,=.

[Naed Nitram]

Dobre te wektory. Wystarczy wykazać, że niezależne.