dowód - przestrzenie liniowe

[matinf]

W \(\displaystyle{ R^5}\) dany jest podzbiór \(\displaystyle{ V = \left\{x^{ \rightarrow } \in R^5 : x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 0 \right\}}\)
Pokaż, że\(\displaystyle{ V}\) jest podprzestrzenią liniową i znajdź układ liniowo niezależnych wektorów rozpinających \(\displaystyle{ V}\)?

[lukequaint]

No to pokaż Z czym masz problem? Żeby udowodnić, że \(\displaystyle{ V}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{5}}\) musisz pokazać, że:

• \(\displaystyle{ (\forall v,w \in V)(v + w \in V)}\)
• \(\displaystyle{ (\forall \alpha \in \mathbb{R})(\forall v \in V)(\alpha v \in V)}\)
• \(\displaystyle{ V \neq \emptyset}\)

Trzecie dostajesz od razu, bo wektor \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
0\\
0\\
0
\end{array}\right) \in V}\)

A z podanego równania, jeśli po jednej stronie zostawisz \(\displaystyle{ x_{1}}\) wynika, że wektory w \(\displaystyle{ V}\) są postaci:
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}
x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
-x_{2}-x_{3}-x_{4}-x_{5}\\
x_{2}\\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}
\end{array}\right)
=\\=
x_2
\left(\begin{array}{c}
-1\\
1\\
0\\
0\\
0
\end{array}\right)
+
x_{3}
\left(\begin{array}{c}
-1\\
0\\
1\\
0\\
0
\end{array}\right)
+
x_{4}
\left(\begin{array}{c}
-1\\
0\\
0\\
1\\
0
\end{array}\right)
+
x_{5}
\left(\begin{array}{c}
-1\\
0\\
0\\
0\\
1
\end{array}\right)}\)

Pozostaje tylko wykazać dwie pozostałe własności.