Dowód, przestrzenie liniowe.

[matinf]

Zbiór wszystkich funkcji \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\) tworzy przestrzeń liniową nad \(\displaystyle{ R}\)
Pokaż, że funkcje
\(\displaystyle{ f_1(x) = 1 \\
f_2(x) = \sin x \\
f_3(x) = \cos x}\)
są liniowo niezależne.

[szw1710]

Niech \(\displaystyle{ a+b\cos x+c\sin x=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in\RR.}\) Dla \(\displaystyle{ x=0}\) mamy \(\displaystyle{ a+b=0}\). Dla \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}}\) mamy \(\displaystyle{ a+c=0}\), a dla \(\displaystyle{ x=\pi}\) mamy \(\displaystyle{ a-b=0}\). Stąd łatwo widać, że \(\displaystyle{ a=b=c=0}\).

Ogólnie zachodzi twierdzenie: układ funkcji ciągłych \(\displaystyle{ f_1,\dots,f_n}\) jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \det\left[f_i(x_j)\right]\ne 0}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x_1,\dots,x_n\in\RR}\) wzajemnie różnych. Warunek ten jest ogólniejszy i przesądza o tym, że te funkcje tworzą tzw. układ Czebyszewa, a ich kombinacje liniowe mają wiele własności identycznych z wielomianami. Np. każda kombinacja liniowa \(\displaystyle{ n}\) funkcji ma co najwyżej \(\displaystyle{ n-1}\) miejsc zerowych. Przestrzeń liniową generowaną przez układ Czebyszewa nazywamy przestrzenią Haara.