dowód na macierzy

[matinf]

Macierz\(\displaystyle{ A \in K^{n,n}}\) ma dwa identyczne wiersze. Pokaż, że \(\displaystyle{ A}\) jest osobliwa.

[szw1710]

W teorii macierzy osobliwym jest posiadanie dwóch identycznych wierszy. Na co Ci dwa identyczne auta, skoro jeździsz tylko jednym? Czyż to nie osobliwe? Dlatego macierz z dwoma osobnymi wierszami jest osobliwa. Na pewno - bardzo osobliwa.

Ukryta treść:    

Wskazówka. Skorzystaj z podstawowych własności wyznaczników. Weź pod uwagę takie operacje na macierzy, które nie zmieniają wyznacznika, a następnie wykorzystaj rozwinięcie Laplace'a.

[yorgin]

Fajny dowód można przeprowadzić wprost z definicji kombinatorycznej, tj

\(\displaystyle{ \det A=\sum\limits_{\sigma\in S_n} \left(\mbox{sgn}\sigma \prod\limits_{k=1}^n a_{\sigma(k),k}\right)}\)

Wystarczy tylko zauważyć, że posiadanie dwóch takich samych wierszy oznacza, że w powyższej sumie każdy składnik ma swój przeciwny, przez modyfikację permutacji na równych wierszach, co również zmienia znak permutacji.

[matinf]

@szw1710, a możesz pokazać dokładnie jak to zrobić ?

[szw1710]

Nie mogę. Podziałaj jak radziłem na identycznych wierszach.