Równanie ogólnej prostej/wektory normalne

[Cari]

Mamy równanie: \(\displaystyle{ y-2x-3=0}\) , znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ (3,-5)}\) i

a) równoległej b) prostopadłej do tej prostej

Można to rozwiązać za pomocą wyznacznika i iloczynu skalarnego?

Wiem tyle, że wektor normalny danej prostej to wektor \(\displaystyle{ [-2,1]}\) wektor szukanej prostej to np. \(\displaystyle{ [C,D]}\)

C,D to współczynniki szukanej prostej: \(\displaystyle{ Cx + Dy + E = 0}\)

równoległość mogę wyznaczyć z wyznacznika, czyli dwa wektory normalne obu prostych są równoległe gdy \(\displaystyle{ -2D-C=0}\), prostopadłość natomiast z iloczynu: \(\displaystyle{ -2C + D = 0}\)

Jak znaleźć to równanie, próbuje i nie wiem czy dobrze myślę.

[lukequaint]

Można rozwiązać to jak mówisz, szukając współrzędnych wektora równoległego i prostopadłego, ale da się też prościej.

a) prosta równoległa jest wyznaczona przez ten sam wektor, czyli jej równanie ma postać:
\(\displaystyle{ -2x+y+c=0}\)
i musisz tak dobrać stałą \(\displaystyle{ c}\), by punkt \(\displaystyle{ (3,-5)}\) je spełniał.

b) wektor kierunkowy prostej prostopadłej jest prostopadły do wektora danej prostej, tzn. jest wyznaczona przez wektor \(\displaystyle{ [1, 2]}\) (wektor prostopadły do \(\displaystyle{ [A, B]}\) to \(\displaystyle{ [-B, A]}\) lub \(\displaystyle{ [B, -A]}\)). Równanie prostej prostopadłej:
\(\displaystyle{ x + 2y +c = 0}\)
i tak samo jak w punkcie a) musisz dobrać stałą \(\displaystyle{ c}\), tak by współrzędne danego punktu spełniały to równanie.