Niezależność liniowa macierzy

[Jonarz]

Dana jest przestrzeń liniowa \(\displaystyle{ V(\RR)}\) taka, że \(\displaystyle{ V(\RR) = \left\lbrace M = \begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix} : a,b,c,d \in \RR \right\rbrace}\).
Czy macierze: \(\displaystyle{ M_{1} = \begin{bmatrix} 2&0\\-1&3\end{bmatrix}, M_{2} = \begin{bmatrix} 1&0\\3&7\end{bmatrix}, M_{3} = \begin{bmatrix} 1&0\\17&29\end{bmatrix}, M_{4} = \begin{bmatrix} 0&10\\0&0\end{bmatrix}}\) są liniowo niezależne? Czy stanowią bazę tej przestrzeni?

Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \alpha M_{1} + \beta M_{2} + \gamma M_{3} + \delta M_{4}=0}\)
\(\displaystyle{ \alpha \begin{bmatrix} 2&0\\-1&3\end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1&0\\3&7\end{bmatrix} + \gamma \begin{bmatrix} 1&0\\17&29\end{bmatrix} + \delta \begin{bmatrix} 0&10\\0&0\end{bmatrix}=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2\alpha+\beta+\gamma=0\\10\delta=0 \Rightarrow \delta=0\\-\alpha+3\beta+17\gamma=0\\3\alpha+7\beta+29\gamma=0 \end{cases}}\)
Z układu równań wyliczyłem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha=2\gamma\\ \beta=-5\gamma\\ \delta=0\\ \gamma \in \RR \end{cases}}\)
Z powyższego wynika, że te macierze są liniowo zależne. Nie stanowią one bazy przestrzeni \(\displaystyle{ V(\RR)}\).

Czy to się zgadza?

[krystian8207]

Zgadza się. A z faktu, że są liniowo zależne nie mogą stanowić bazy tej przestrzeni.

[Jonarz]

Dziękuję bardzo za sprawdzenie