Określonośc macierzy parametr

[nowyyyy4]

Mam zbadać dla jakiego \(\displaystyle{ t}\) macierz jest niedodatnio określona
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}t&2 \\ 2 & 2t \end{array}\right]}\). Warunki na dodatnią, nieujemną i ujemną znam, ale nie mam pojęcia jak zrobić niedodatność za pomocą wyznaczników

[bartek118]

Kryterium Sylvestera.

[nowyyyy4]

Ale w kryterium Sylwestera nie ma warunku na niedodatność.

[bartek118]

Aaa, sorry, źle przeczytałem. No to niech \(\displaystyle{ v = (v_1, v_2)^T \in \mathbb{R}^2}\). No to liczymy:
\(\displaystyle{ v^T A v = (v_1, v_2) \left[\begin{array}{c}tv_1 + 2v^2 \\ 2v_1 + 2tv_2 \end{array}\right] = v_1 (tv_1 + 2v_2) + v_2 (2v_1 + 2tv_2) = tv_1^2 +2v_1 v_2 + 2v_1v_2 + 2tv_2^2 = tv_1^2 + 4 v_1 v_2 + 2t v_2^2 \leq 0}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ v = (0, 1)^T}\) otrzymamy, że \(\displaystyle{ t \leq 0}\). Gdyby \(\displaystyle{ t}\) było równe \(\displaystyle{ 0}\), to forma miałaby postać \(\displaystyle{ 4v_1 v_2}\), co ewidentnie nie jest niedodatnie. Zatem \(\displaystyle{ t < 0}\). Podstawiając \(\displaystyle{ v=(t,t)^T}\) dostaniemy, że \(\displaystyle{ t \leq -\frac{4}{3}}\).

Ale hm.. teraz tak patrzę, że nasza forma to: \(\displaystyle{ \frac{1}{t} \left( (tv_1 + 2v_2)^2 + (2t^2 - 4) v_2^2 \right)}\), co na pewno jest niedodatnie dla \(\displaystyle{ t \leq - \sqrt{2}}\).

[yorgin]

Ale w kryterium Sylwestera nie ma warunku na niedodatność.

Wystarczy w warunku na ujemną określoność wstawić słabe nierówności.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ t\leq 0 \wedge 2t^2-4\geq 0 \Rightarrow t\leq -\sqrt{2}}\)