Dowody - liczby zespolone i macierze

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
MatmaQ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 10 kwie 2011, o 20:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sandomierz
Podziękował: 1 raz

Dowody - liczby zespolone i macierze

Post autor: MatmaQ »

Dobra, więc generalnie proszę o sugestie, wskazówki, fragmenty rozwiązania. Mam tu trochę zadań, w których przynajmniej powinienem rozumieć tok rozwiązywania.
Nie jestem orłem w tej dziedzinie matematyki, więc proszę o klarowność.

Wszędzie udowodnij.


1)Udowodnij, że

równanie postaci \(\displaystyle{ X ^{8}-5=0}\)

ma dokładnie jedno rozwiązanie w ciele \(\displaystyle{ Z_7}\) (Łopatologiczne sprawdzenie odpada :/)

2)Udowodnij, że dla dowolnych dwóch liczb zespolonych \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ w}\) zachodzi tożsamość

\(\displaystyle{ |z-w|^{2}+|z+w|^2=2(|z|^{2}+|w|^{2})}\)

3)No dobra, jedno bez "udowodnij, że"

Liczby \(\displaystyle{ z_1}\) i \(\displaystyle{ z_2}\) są dwiema różnymi i zespolony rozwiązaniami równania

\(\displaystyle{ z^{2}+ (-2+i)z -1+3i=0.}\)

Wyznacz część rzeczywistą i urojoną liczby

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{z_1}+ \frac{1}{z_2} \right) ^{2013}}\)

4)Udowodnij, że dla \(\displaystyle{ x \in \left( 0,2 \pi \right)}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{m} \cos (nx)= \frac{\sin \left( \frac{(m+1) \cdot x}{2} \right) \cdot \cos ( \frac{mx}{2} )}{\sin ( \frac{x}{2} )} .}\)
Tutaj porobiłem jakieś kosmiczne rachunki prowadzące generalnie z kierunku lewego na prawy używając przekształceń ze wzorów na połówki kąta, ale się zaciąłem w pewnym momencie.

I najważniejsze dla mnie:

5)Dla macierzy

\(\displaystyle{ A=}\) \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} w_1\\w_2\\...\\w_n\end{bmatrix}}\) \(\displaystyle{ \in K ^{m,n}}\), gdzie \(\displaystyle{ w_i \in K^{1,n}}\)

rozważamy takie oto przekształcenia:

i) zamiana wierszy miejscami;
ii) pomnożenie wiersza przez niezerowy skalar;
iii) dodanie do pewnego wiersza innego, pomnożonego przez skalar

Wykaż, że każdą z tych operacji można wykonać mnożąc macierz \(\displaystyle{ A}\) z lewej strony przez pewną nieosobliwą macierz z \(\displaystyle{ K^{m,n,}}\). Wyznacz je.

Dzięki z góry za poświęcony czas studentowi chcącemu coś zrozumieć, ja w międzyczasie zamiast walić głową w mur, zetrę się ze zrozumialną analizą
Ostatnio zmieniony 17 paź 2013, o 20:47 przez yorgin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości - indeksy dolne _{}, \sin, \cos, brakujący LaTeX.
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Dowody - liczby zespolone i macierze

Post autor: bartek118 »

2) Rozpisz na część rzeczywistą i zespoloną, samo wyjdzie.
3) Sprowadź te ułamki do wspólnego mianownika i skorzystaj ze wzorów Viete'a.
4) Musisz wykorzystać liczby zespolone - czego częścią rzeczywistą/urojoną jest lewa strona?
5) Aby to wykazać należy wskazać takie macierze. Dla zamiany wierzy miejscami mamy na przykład macierz, która ma jedynki na przekątnej i te same dwa wiersze zamienione miejscami, mnożenie przez skalar to mnożenie przez macierz, która na przekątnej ma ten skalar itd.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Dowody - liczby zespolone i macierze

Post autor: yorgin »

Zadanie 2 łatwiej rozwiązuje się przy użyciu iloczynu skalarnego i normy, ale zakładam, że autor tego nie zna, więc jak pisał bartek118, łopatologicznie rozpisujemy i wychodzi.

Zadanie 3 pojawiło się, ale bez większych postępów, tzn jest błędne rozwiązanie autora:

345490.htm

Niemal kompletne zadanie 4:

345425.htm

Zadanie 5 - pomocne są macierze permutacji.
MatmaQ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 10 kwie 2011, o 20:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sandomierz
Podziękował: 1 raz

Dowody - liczby zespolone i macierze

Post autor: MatmaQ »

Drugie faktycznie bez problemowe, nie taki diabeł straszny.
Mi tam rozwiązania równania w 3) bardzo ładnie wyszły, ale nawet nie ma co tego liczyć, skoro i tak muszę policzyć \(\displaystyle{ (-b/c)^{2013}}\). Tutaj nawet wolfram się krztusi kiedy próbuje coś wykoncypować.
Pewnie coś z de Moivre'a, zgadza się?
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Dowody - liczby zespolone i macierze

Post autor: yorgin »

Tak się składa, że \(\displaystyle{ -\frac{b}{c}}\) daje się bardzo ładnie zapisać w postaci trygonometrycznej, a stąd już prosta droga do policzenia potęgi.
MatmaQ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 10 kwie 2011, o 20:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sandomierz
Podziękował: 1 raz

Dowody - liczby zespolone i macierze

Post autor: MatmaQ »

No dobrze, ale \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) to różne liczby zespolone.
Czy istnieje jakiś wzorek na liczenie ilorazu liczb zespolonych?
policzyłem moduł \(\displaystyle{ -2+i}\)
wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{5},}\) dla \(\displaystyle{ -1 +3i}\)wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{10}}\)

Nie wiem natomiast, jak obsłużyć część cosinusów, tym bardziej, żę kąty wychodzą dziwne.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Dowody - liczby zespolone i macierze

Post autor: yorgin »

Może po prostu zapisz

\(\displaystyle{ \frac{-2+i}{-1+3i}=a+ib}\)

i teraz zamień na postać trygonometryczną?
MatmaQ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 10 kwie 2011, o 20:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sandomierz
Podziękował: 1 raz

Dowody - liczby zespolone i macierze

Post autor: MatmaQ »

Jezu, zaspany jestem. Dzięki.

Mam teraz wyliczoną postać trygonometryczną, tyle, że jak to teraz zmienić z powrotem. Niby kąty po pomnożeniu przez 2013 to pierwsza ćwiartka, ale zostaje \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2} ^{2013}}\) po lewej stronie.
Jak coś takiego mam przetłumaczyc?
Ok, już przetłumaczyłem.
Dzięki raz jeszcze, jeszcze tylko ostatnie i mogę w spokoju ducha zasnąć.
ODPOWIEDZ