Udowodnić równości własności macierzy

[bob1000]

Jak w temacie:
1) \(\displaystyle{ A+B=B+A}\)
2) \(\displaystyle{ A+(B+C)=(A+B)+C}\)
3) \(\displaystyle{ A+0=0+A}\)

Intuicyjnie wydaje się logiczne lecz jak tego formalnie dowieść?

[Kartezjusz]

Maciere oczywiście muszą mieć oba wymiary równe.
Udowodnię pierwszą równość i to nie całą(reszt rozkminisz:)), drugą dowodzi się analogicznie,a trzecia wynika bezpośrednio z drugiej
1)\(\displaystyle{ A=[a_{ij}]^{m}_{n}}\)
\(\displaystyle{ B=[b_{ij}]^{m}_{n}}\)
\(\displaystyle{ A+B=[a_{ij}]^{m}_{n}+[b_{ij}]^{m}_{n}=[a_{ij}+b_{ij}]^{m}_{n}=...}\)

[bob1000]

\(\displaystyle{ = [ b_{ij}+ a_{ij}]_{m \times n}= \left[ b_{ij} \right]_{m \times n}+ \left[ a_{ij} \right]_{m \times n}=B+A}\).
Jest ok?

[Kartezjusz]

Tak, nie mam zastrzeżeń.

[bob1000]

2)\(\displaystyle{ ...= \left[ a_{ij} \right]_{mxn}+ ([ b_{ij}]_{m \times n}+ [ c_{ij} ]_{m \times n})=...}\).Teraz po prostu mam przestawić nawiasy tak?: \(\displaystyle{ (\left[ a_{ij} \right]_{m \times n}+ [ b_{ij}]_{m \times n})+ [ c_{ij} ]_{m \times n}=(A+B)+C}\)?

-- 17 paź 2013, o 14:30 --

Pytam się o to bo nie wiem czy takie posunięcie jest wystarczające. Czy może to zadowolić wykładowcę.

[Kartezjusz]

Z adnotacją,że korzystasz z łączności ( przemienności ) dodawania dla liczb.

[bob1000]

Mam teraz do udowodnienia coś takiego:
\(\displaystyle{ AB \neq BA}\)

Niech dane są dwie macierze: \(\displaystyle{ A= [ a_{ij}]_{mxn} \in \RR_{mxn}}\) i \(\displaystyle{ B= [b_{ij}]_{nxr}\in \RR_{nxr}}\). Udowodnimy, że \(\displaystyle{ AB \neq BA}\):
Załóżmy że \(\displaystyle{ AB=BA}\). Z tego mamy \(\displaystyle{ [ a_{ij}]_{mxn}\cdot [b_{ij}]_{nxr}=[b_{ij}]_{nxr}\cdot [ a_{ij}]_{mxn}}\). Z definicji mnożenia macierzy wiemy, że mnożenie dwóch macierzy jest wykonalne jeżeli ilość kolumn pierwszej macierzy jest równa ilości wierzy macierzy drugiej. Zatem \(\displaystyle{ AB \neq BA}\).
Jeżeli coś przeoczyłem to proszę o poprawę.

[Kartezjusz]

Dopowiedz tylko jasno dlaczego masz brak równości. Wiesz dlaczego, ale musisz to jeszcze dodać.
Jeśli chcesz zaprzeczyć ogólnemu prawu wystarczy podać konkretny przykład - ten wyjątek przeciw regule. A jeśli chcesz pokazać, że WOGÓLE to nie zachodzi wystarczy wziąć dwie macierze diagonalne różne.

[bob1000]

1) \(\displaystyle{ \alpha \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} \alpha 1& \alpha 2& \alpha 3\\ \alpha 4&\alpha 5&\alpha 6\\\alpha 7&\alpha 8&\alpha 9\end{array}\right]}\), dla \(\displaystyle{ \alpha \in \RR}\). Taką Własność da radę udowodnić czy to po prostu już tak jest?

2) Ws. dowodu w poście wyżej: Występuje brak równości \(\displaystyle{ AB \neq BA}\), ponieważ po zamianie macierzy mmiejscami ilość kolumn macierzy \(\displaystyle{ B}\) nie jest równa ilości wierszy macierzy \(\displaystyle{ A}\). Trzeba założyć jeszcze, że \(\displaystyle{ m \neq n \neq r}\)?

[Kartezjusz]

Można dowieść przez konstrukcyjne dowodzenie mnożenia kolejno przez liczby naturalne( \(\displaystyle{ n-krotne}\)dodawanie), całkowite( dowodząc wcześniej, na mocy neutralności macierzy \(\displaystyle{ 0}\)), że minus można wyjąć przed macierz, a wszystkie liczby zamieniamy na przeciwne, potem wprowadzić mnożenie przez odwrotność i przez liczbę wymierną... Ale myślę, ze jak ciało nie jest sprecyzowane, to dowód nie jest potrzebny.

[bob1000]

1)Czy to jest prawdą?: \(\displaystyle{ A^{-1}\cdot A=A\cdot A^{-1}=1}\) Jeżeli tak to jak to mam udowodnić? Nie korzystając z definicji wyznaczników bo jeszcze ich nei znam.
Ogólnie zastanawia mnie czym właściwie jest ta macierz odwrotna. Mam np zadanie typu: Daną masz macierz \(\displaystyle{ A}\). wyznacz do niej macierz \(\displaystyle{ A^{-1}}\). Jak mam ją wyznaczyć?
2)Udowodnić:\(\displaystyle{ (AC)^{T}= C^{T}\cdot A^{T}}\) dla \(\displaystyle{ A \in \RR_{mxn}}\) i \(\displaystyle{ C \in \RR_{nxk}}\): \(\displaystyle{ C^{T}\cdot A^{T}= [ c_{ij}] ^{T}\cdot [ a_{ij}] ^{T}= [c_{ji}]\cdot [a_{ji}]=\left[ \sum_{l=1}^{n} c_{jl} a_{li} \right]=[ d_{ji}]= [ d_{ij}] ^{T}=\left[ \sum_{l=1}^{n} a_{il} c_{lj} \right]^{T}= (AC)^{T}}\). Poprawnie? Dołożyć jakieś uwagi?

[Kartezjusz]

1) Nie zawsze. Jeśli masz macierz na przykład zerową, lub złożoną z samych jedynek macierzy odwrotnej nie znajdziesz.

[bob1000]

1) dzięki
2) jest ok?

[Kartezjusz]

2) Zgadza się