macierze - udowadnianie równości

[pasasap]

Sprawdzić czy dla rzeczywistych macierzy kwadratowych A, B zachodzi

\(\displaystyle{ \left( A+B\right) ^{2} = A ^{2} + 2AB +B ^{2}}\)

Jak się rozwiązuje takie zadania? Wystarczy rozpisać z wzoru, ale pamiętać, że dla dowolnych macierzy mnożenie nie jest przemienne, więc taka równość nie jest spełniona?

Chcę się dowiedzieć w jaki sposób sprawdzić, czy dana równość zachodzi.

[szw1710]

Korzystamy np. z prawostronnej rozdzielności mnożenia względem dodawania: \(\displaystyle{ (A+B)C=AC+BC}\). A więc mówiąc z grubsza (roughly speaking) mnożysz nawias przez nawias zważając na kolejność. Pomnóż nawias przez nawias i podaj tu wynik. Rozpisz to tak od Adama i Ewy.

[pasasap]

\(\displaystyle{ \left( A+B\right) ^{2} = \left( A+B\right)\left( A+B\right)=A ^{2} + A \cdot B + B \cdot A + B ^{2}}\)

Mnożenie macierzy nie jest przemienne dla dowolnych, więc nie jest to równe prawej części równania. I tyle starczy?

A co np. z:
\(\displaystyle{ \left( A \cdot B\right) ^{2} = A ^{2} \cdot B ^{2}}\)

[szw1710]

Tak. Dla formalności weź sobie jeszcze dwie w miarę dowolne macierze \(\displaystyle{ 2\times 2}\) i pomnóż.

To drugie - znów brak przemienności. Sprawdź. Rozpisz lewą stronę, a potem prawą. Może nie będę dalej podpowiadał bo widzę, że moją poprzednia wskazówkę rozumiesz.

[pasasap]

\(\displaystyle{ A \cdot B \cdot A \cdot B = A \cdot A \cdot B \cdot B}\)

I tyle wystarczy?

[szw1710]

Dodając do tego kontrprzykład - znów wystarczą macierze \(\displaystyle{ 2\times 2}\).