Potęgowanie macierzy

[squared]

Witam. Mam problem z obliczeniem macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\cos \alpha &- \sin \alpha\\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]^{n}}\)

Dla \(\displaystyle{ n=2}\) wyszło mi w miarę sensownie: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\cos 2\alpha &- \sin 2\alpha\\ \sin 2\alpha & \cos 2\alpha\end{array}\right]}\)

Przy wyższych potęgach zaczęły się wzory mocno komplikować, być może w racji nieznajomości wzorów na \(\displaystyle{ \cos n \alpha}\) i \(\displaystyle{ \sin n \alpha}\). Na podstawie 1. rozpisania wnioskuję, że \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\cos \alpha &- \sin \alpha\\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}{ccc}\cos n \alpha &- \sin n \alpha\\ \sin n \alpha & \cos n \alpha\end{array}\right]}\). Przy czym takie wnioskowanie jest kiepskie dla jednego obliczenia tylko. Rozpisałby ktoś dla\(\displaystyle{ n=3}\)?

[yorgin]

Robisz zwykłe mnożenie macierzy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\cos 2\alpha &- \sin 2\alpha\\ \sin 2\alpha & \cos 2\alpha\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}\cos \alpha &- \sin \alpha\\ \sin \alpha & \cos \alpha\end{array}\right]}\)

korzystając na końcu ze wzorów na \(\displaystyle{ \cos(2\alpha+\alpha)}\) oraz \(\displaystyle{ \sin(2\alpha+\alpha)}\). To jest aż za proste.

[squared]

Chyba nie zrozumiałeś, o co mi chodziło. Umiem mnożyć macierze, w sumie wzory też znam, które podałeś. Chodziło o to, że może mam jakieś "czeskie błędy", przy kolejnym mnożeniu - tyle.

[yorgin]

Ja tych obliczeń nie widzę, więc jak mam cokolwiek weryfikować? Po poprawnym pomnożeniu macierzy wszystkie wyrazy złożą się w jeden po zastosowaniu wzoru na cosinus lub sinus sumy.