Macierze symetryczne i antysymetryczne

[Cestis]

Witam. Mam kilka pytań co do macierzy symetrycznych i antysymetrycznych. Konkretnie, jakie warunki musi spełniać macierz kwadratowa, by można było ją zakwalifikować do jednej z nich?
Oczywiście wiem o istnieniu \(\displaystyle{ a_{ij} = a_{ji}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{ij} = -a_{ji}}\), jednak chciałbym poznać wszystkie własności w/w macierzy.
Jakie kroki należy podjąć po kolei z macierzą, aby stwierdzić czy jest symetryczna, antysymetryczna, czy może ani taka ani taka?

Pytanie dodatkowe: macierz kwadratowa, która zawiera same zera jest symetryczna i antysymetryczna? Czy istnieją jeszcze inne przypadki, kiedy macierz jest i taka i taka?

[yorgin]

Witam. Mam kilka pytań co do macierzy symetrycznych i antysymetrycznych. Konkretnie, jakie warunki musi spełniać macierz kwadratowa, by można było ją zakwalifikować do jednej z nich?
Oczywiście wiem o istnieniu \(\displaystyle{ a_{ij} = a_{ji}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{ij} = -a_{ji}}\), jednak chciałbym poznać wszystkie własności w/w macierzy.
Jakie kroki należy podjąć po kolei z macierzą, aby stwierdzić czy jest symetryczna, antysymetryczna, czy może ani taka ani taka?

Rzeczywista macierz \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczna wtw dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in \RR^n}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \langle Ax,y\rangle=\langle x,Ay\rangle}\)

Wartości własne macierzy symetrycznej są czysto rzeczywiste.


Rzeczywista macierz \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczna wtw dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in \RR^n}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \langle Ax,y\rangle=-\langle x,Ay\rangle}\)

wtw zachodzi \(\displaystyle{ \langle Ax,x\rangle=0}\)

Wartości własne macierzy antysymetrycznej są czysto urojone. Jej wyznacznik jest zerem dla macierzy parzystego wymiaru.

Pytanie dodatkowe: macierz kwadratowa, która zawiera same zera jest symetryczna i antysymetryczna?

Tak.

Czy istnieją jeszcze inne przypadki, kiedy macierz jest i taka i taka?

\(\displaystyle{ A=-A^T=A^T\Rightarrow A^T=0\Rightarrow A=0}\), oczywiście przy założeniu, że charakterystyka ciała jest różna od dwóch.