Witam. Mam kilka pytań co do macierzy symetrycznych i antysymetrycznych. Konkretnie, jakie warunki musi spełniać macierz kwadratowa, by można było ją zakwalifikować do jednej z nich?
Oczywiście wiem o istnieniu \(\displaystyle{ a_{ij} = a_{ji}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{ij} = -a_{ji}}\), jednak chciałbym poznać wszystkie własności w/w macierzy.
Jakie kroki należy podjąć po kolei z macierzą, aby stwierdzić czy jest symetryczna, antysymetryczna, czy może ani taka ani taka?
Pytanie dodatkowe: macierz kwadratowa, która zawiera same zera jest symetryczna i antysymetryczna? Czy istnieją jeszcze inne przypadki, kiedy macierz jest i taka i taka?
Macierze symetryczne i antysymetryczne
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Macierze symetryczne i antysymetryczne
Rzeczywista macierz \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczna wtw dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in \RR^n}\) zachodziCestis pisze:Witam. Mam kilka pytań co do macierzy symetrycznych i antysymetrycznych. Konkretnie, jakie warunki musi spełniać macierz kwadratowa, by można było ją zakwalifikować do jednej z nich?
Oczywiście wiem o istnieniu \(\displaystyle{ a_{ij} = a_{ji}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{ij} = -a_{ji}}\), jednak chciałbym poznać wszystkie własności w/w macierzy.
Jakie kroki należy podjąć po kolei z macierzą, aby stwierdzić czy jest symetryczna, antysymetryczna, czy może ani taka ani taka?
\(\displaystyle{ \langle Ax,y\rangle=\langle x,Ay\rangle}\)
Wartości własne macierzy symetrycznej są czysto rzeczywiste.
Rzeczywista macierz \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczna wtw dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in \RR^n}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \langle Ax,y\rangle=-\langle x,Ay\rangle}\)
wtw zachodzi \(\displaystyle{ \langle Ax,x\rangle=0}\)
Wartości własne macierzy antysymetrycznej są czysto urojone. Jej wyznacznik jest zerem dla macierzy parzystego wymiaru.
Tak.Cestis pisze: Pytanie dodatkowe: macierz kwadratowa, która zawiera same zera jest symetryczna i antysymetryczna?
\(\displaystyle{ A=-A^T=A^T\Rightarrow A^T=0\Rightarrow A=0}\), oczywiście przy założeniu, że charakterystyka ciała jest różna od dwóch.Cestis pisze: Czy istnieją jeszcze inne przypadki, kiedy macierz jest i taka i taka?