Sprawdzić, czy działanie jest łączne.

[squared]

Mam następujące zadanie. Czy dana operacja jest łączna na zbiorze \(\displaystyle{ M}\) jeśli...
I generalnie nie mam z nim problemów, ale mam inne odpowiedzi niż podane w książce, więc proszę o sprawdzenie moich rozwiązań:

1)
\(\displaystyle{ M=\mathbb{N} \\ x \circ y = 2xy\\
x \circ (y \circ z) = x \circ (2yz) = 4xyz \\
(x \circ y) \circ z = (2xy) \circ z = 4xyz}\)
Odp. Tak
2)
\(\displaystyle{ M=\mathbb{Z} \\ x \circ y = x^2+y^2 \\
x \circ (y \circ z) = x \circ (y^2+z^2) = x^2 + (y^2 +z^2)^2 = x^2 + y^4 + z^4 + 2y^2z^z \\
(x \circ y) \circ z = (x^2 + y^2) \circ z = (x^2+y^2)^2 + z^2 = x^4+y^4+z^2+2x^2y^2}\)
Odp. Nie
3)
\(\displaystyle{ M=\mathbb{R} \setminus \{0\} \\ x \circ y = x \cdot y^{ \frac{x}{\left| x\right| }} \\
x \circ (y \circ z) = x \circ (y \cdot z^{ \frac{y}{\left| y\right| }}) = x \cdot \left( y \cdot z^{ \frac{y}{\left| y\right| }}\right) ^{ \frac{x}{\left| x\right| }}= x \cdot y^{ \frac{x}{\left| x\right| } } \cdot z^{ \frac{xy}{\left| xy\right| } } \\
(x \circ y) \circ z = (xy) \circ z = \left( x \cdot y^{ \frac{x}{\left| x\right| } }\right) \circ z = x \cdot y^{ \frac{x}{\left| x\right| } } \cdot z^{ \frac{x \cdot y^{ \frac{x}{\left| x\right| } }}{\left| x \cdot y^{ \frac{x}{\left| x\right| } }\right| } }}\)
Odp. Nie - choć mam wątpliwości, być może potęgę \(\displaystyle{ z}\) można zapisać prościej...

Z góry dziękuję za pomoc

[oldj]

2.) techniczna uwaga - nie wystarczy, żeby 'wzorki' które wyjdą były różne - żeby formalnie zakończyć dowód, powinno się wskazać konkretne \(\displaystyle{ x,y,z}\) , które psują łączność

3.) tu nie masz racji. wykładniki przy \(\displaystyle{ z}\) są równe - najłatwiej raz sprawdź dla \(\displaystyle{ x}\) dodatniego, a raz ujemnego

[ZaxHunter]

1 i 2 masz w porządku...

Co do trzeciego mnie się wydaje, że jednak jest łączne. Zauważ, że potęga przy \(\displaystyle{ z}\) się skróci i zostanie albo \(\displaystyle{ 1}\) albo \(\displaystyle{ -1}\) w zależności od tego czy licznik jest dodatni czy ujemny... Tylko, że jeśli będzie \(\displaystyle{ -1}\) to w obydwu przypadkach, jeśli będzie \(\displaystyle{ 1}\) również w obydwu przypadkach.
Tak więc po skróceniu ułamków otrzymasz w obydwu równaniach jeden z tych czterech wyników:

\(\displaystyle{ x \cdot y^{1} \cdot z^{1}}\)
lub
\(\displaystyle{ x \cdot y^{-1} \cdot z^{-1}}\)
lub
\(\displaystyle{ x \cdot y^{-1} \cdot z^{1}}\)
lub
\(\displaystyle{ x \cdot y^{1} \cdot z^{-1}}\)

Ważne, że niezależnie od wyboru liczb ten wynik będzie w obydwu równaniach taki sam.