Znaleźć odwrotności liczb w ciałach

[Dyktus]

Witam.
Na przedmiocie: wstęp do algebry liniowej i geometrii wyliczyliśmy jeden przykład, i nie do końca pamiętam metodę na liczenie tego typu zadania.
Prosiłbym chociaż o jakąś wskazówkę.

Są to pierścienie liczb całkowitych modulo n

1) Znajdź odwrotności liczb w ciałach: \(\displaystyle{ Z _{11} , Z _{6}}\)

Podaje tylko te dwa, chociaż było tego więcej. Czy jest jakaś różnica kiedy jest to ciało z parzystą ilością elementów ?

Z góry dziękuję za wszelkie wskazówki.

[Spektralny]

1) Znajdź odwrotności liczb w ciałach: \(\displaystyle{ Z _{11} , Z _{6}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{Z}_6}\) nie jest ciałem bo ma nietrywialne dzielniki zera, mianowicie \(\displaystyle{ 2\cdot 3 = 0}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_6}\).

Spróbujmy wyznaczyć element odwrotny do \(\displaystyle{ 5}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{11}}\). Szukamy więc takiego \(\displaystyle{ x}\), że

\(\displaystyle{ 5\cdot x \equiv\, 1\mbox{ mod }11}\).

Mamy \(\displaystyle{ 5\cdot 9 = 45 = 4\cdot 11 + 1}\), a więc jest \(\displaystyle{ 5^{-1} = 9}\).