łączność, skąd wiadomo

[tukanik]

Cześć
Często potrzebujemy wiedzieć, czy jakieś działanie jest łączne.
Jak możemy to sprawdzić?, np. \(\displaystyle{ a \cdot b \mod p}\)

[Naed Nitram]

Zgaduję, że chodzi o działanie w liczbach całkowitych.

Chodzi więc o sprawdzenie następującej równości:

\(\displaystyle{ (ab \mod p)\cdot c\mod p=a\cdot (bc\mod p)}\).

Można używając reszty z dzielenia. Zapisujemy \(\displaystyle{ a=a_0p+a_1}\), gdzie \(\displaystyle{ 0\le a_1<p}\), analogicznie dla \(\displaystyle{ b,c}\), wstawiamy do wyrażenia powyżej i redukujemy oddzielnie stronami. Rzadko jednak zachodzi potrzeba sprawdzania łączności dla konkretnych przykładów. Tu np. można skorzystać z łączności mnożenia w \(\displaystyle{ \mathbb Z}\), z której wynika łączność mnożenia w \(\displaystyle{ \mathbb Z/p\mathbb Z}\) (co jest tym samym co łączność mnożenia modulo p), bo ta jest niezmiennicza ze względu na homomorfizmy.

[tukanik]

nie rozumiem, dlaczego możemy przedstawić za a \(\displaystyle{ a=a_0p+a_1}\) i tak samo odpowiednio dla b i c?
Nie wiem, co zrobić z tym dalej

[Naed Nitram]

Kążdą liczbę całkowitą a można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ a_1p + a+0}\), gdzie \(\displaystyle{ 0\le a_0<p}\). Dowód np. tak. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie największą liczbą podzielną przez \(\displaystyle{ p}\) niewiększą niż \(\displaystyle{ a}\). Wówczas \(\displaystyle{ n=a_1p}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a_1}\) oraz \(\displaystyle{ 0\le a-n<p}\). Wystarczy więc położyć \(\displaystyle{ a_0 = a-n}\).

Zanim jednak zaczniemy badać własności działań, warto zastanowić się na jakim zbiorze są one określone. Ustalenie tego wydaje mi się dość istotne.