3 wektory ze wspolnym punktem lezace na jednej plaszczyznie

[Morfi777]

Miałem zadanie aby stwierdzić czy trzy wektory ze wspólnym poczatkiem lezą na jednej płaszczyźnie.

Jest reguła, że jeżeli trzy wektory \(\displaystyle{ \vec{u}=<u_{1}, u_{2}, u_{3}>; \vec{v}=<v_{1}, v_{2}, v_{3}>; \vec{w}=<w_{1}, w_{2}, w_{3}>}\) spełniają równanie \(\displaystyle{ \vec{u} \cdot (\vec{v}\times\vec{w})=0}\) to wektory te leżą na jednej płaszczyźnie.

Teraz ja miałem zadanie stwierdzić to, ale NIE ZNAŁEM tego twierdzenia i zrobiłem coś innego, moje pytanie to czy mój sposób również prowadziłby do poprawnego wyniku.

Założyłem, że aby te 3 wektory, styczne do siebie, leżały na jednej płaszczyźnie, muszą mieć wspólną normalną, która będzie prostopadła do nich trzech, a więc musze udowodnić, że zbiór równań \(\displaystyle{ \vec{n} \cdot \vec{v} = 0 ; \vec{n} \cdot \vec{u} = 0 ; \vec{n} \cdot \vec{w} = 0}\) jest prawidłowy. Jeżeli tak to te 3 wektory lezą na jednej płaszczyźnie. Ponieważ wspólna normalna musi być prostopadła do wszystkich trzech. Zgadza się?

Dzięki!

[Kacperdev]

Niestety nie. Z twojego rozumowania wynika, że wszystkie trzy wektory są do siebie wzajemnie prostopadłe. Co nie oznacza, ze leża na wspólnej płaszczyźnie. Twoje rozumowania pokazuje, że jeżeli przez dwa wektory przechodzi płaszczyzna, to trzeci wektor stanowi wektor prostopadły do płaszczyzny.

[Morfi777]

Hej
dzieki za odpowiedź!

nie wiem czy dobrze zrozumiałem. Dlaczego pokazałem, że trzeci wektor stanowi prostopadły do płaszczyzny?

Moje rozumowanie bylo takie:

AU

b163c9c5175b6a8ac12c9fc6989a982b.png (4.94 KiB) Przejrzano 188 razy

Postaram sie w punktach przedstawic moj tok rozumowania i powiedz prosze w ktorym miejscu robie blad

1. wektor \(\displaystyle{ \vec{u}}\) lezy na jakiejs plaszczyznie
2. rysuje wektor normalny (prostopadly do plaszczyzny) wychodzacy z poczatku wektora \(\displaystyle{ \vec{u}}\)
3. Tworze rownanie \(\displaystyle{ \vec{u}\cdot\vec{n}=0}\) (to jest zawsze prawdziwe dla wektora normalnego)
4. rysuje wektor \(\displaystyle{ \vec{v}}\) wychodzacy z poczatku wektora \(\displaystyle{ \vec{u}}\) ktory NIEKONIECZNIE lezy na tej samej plaszczyznie.
5. Tworze rownanie \(\displaystyle{ \vec{v}\cdot\vec{n}=0}\) (to jest zawsze prawdziwe dla wektora normalnego)
6. Jezeli uklad rownan z 3 i 5 sie zgadza to te wektory musza lezec na jednej plaszczyznie poniewaz mają wspólny wektor normalny ORAZ wychodza z tego samego punktu
7. analogicznie postepuje z ostatnim wektorem \(\displaystyle{ \vec{w}}\)

Dzięki!

[Kacperdev]

Oj, muszę poprawić swoja odpowiedz. Literki mi sie pomieszały w oczach patrzac na twoje rozumowanie w pierwszym poscie. Twoje rozwiazanie jest prawidłowe (myslalem, ze bierzesz iloczyn skalarny kazdego wektora z kazdym).

Implikuje to, ze twoje dalsze rozumowanie w drugim poscie jest takze prawidłowe. Przepraszam za zamiesznie ; ).