Operatory liniowe

[Wiora]

Witam!
Muszę stwierdzić czy podane operatory są liniowe:
a) \(\displaystyle{ 3 x^{2} \frac{d^{2}}{dx^{2}}}\)
b) \(\displaystyle{ e^{x}}\)
Wiem, że należy sprawdzić addytywność i jednorodność, bardzo proszę o rozwiązanie krok po kroku.

[Marcinek665]

A jaki to problem sprawdzić czy zachodzi równość \(\displaystyle{ f(x+y)=f(x)+f(y)}\) oraz \(\displaystyle{ f( \lambda x) = \lambda f(x)}\)? Podstawiamy i sprawdzamy.

[Wiora]

Tyle to wiem. Właśnie to podstawienie sprawia mi problem. Chciałabym to raz zobaczyć krok po kroku zanim sama zacznę podstawianie- nie miałam tego na zajęciach, chciałabym zobaczyć schemat.

[miodzio1988]

zacznij podstawianie, nikt za Ciebie tego nie bedzie robil

[Wiora]

a) \(\displaystyle{ 3 \cdot (x+y)^{2}\frac {d^{2}(x+y)}{dx^{2}}}\)widać, że z powodu \(\displaystyle{ 3 \cdot (x+y) ^{2}}\) lewa strona nie równa się prawej, nie jest addytywny
Czy \(\displaystyle{ \frac {d^{2}(x+y)}{dx^{2}}}\) = 0?

\(\displaystyle{ c(3x^{2}\frac {d^{2} }{d x^{2}})=c3x^{2}c\frac {d^{2} }{d x^{2}}}\)

\(\displaystyle{ 3 (cx)^{2}\frac {d^{2}(x+y)}{dcx^{2}}}\) Lewa nie równa się prawej, bo \(\displaystyle{ 3(cx)^{2} \neq c3x^{2}}\)

b)\(\displaystyle{ e^{x+y}=e^{x} \cdot e^{y}}\) nie jest addytywny
\(\displaystyle{ e^{cx}=e^{c} \cdot e^{x}=ce^{x}}\) jest jednorodny.

Poprawnie?

[liu]

Pomieszanie z poplątaniem. Te operatory działają na jakiejś przestrzeni funkcyjnej.

Taki zapis jak w zadaniu oznacza, że dla funkcji gładkiej \(\displaystyle{ f}\) wynikiem działania operatora z a) jest funkcja

\(\displaystyle{ x\mapsto 3x^2 \frac{d^2f}{dx^2} (x)}\)
a operatora z b funkcja
\(\displaystyle{ x \mapsto e^xf(x)}\).

Operator mnożenia przez funkcję jest oczywiście liniowy... Operator z punktu a) to złożenie operatora drugiej pochodnej i operatora mnożenia przez funkcję, więc jako złożenie dwóch operatorów liniowych jest liniowe.

[Wiora]

A mogę poprosić o rozwiązanie krok po kroku? Bo nie wiem co i gdzie się podstawia, zupełnie tego nie chwytam... Widzę takie rzeczy pierwszy raz w życiu, wiem co zrobić ale nie wiem jak, nie mam się na czym wzorować...

[yorgin]

Witam!
Muszę stwierdzić czy podane operatory są liniowe:
a) \(\displaystyle{ 3 x^{2} \frac{d^{2}}{dx^{2}}}\)
b) \(\displaystyle{ e^{x}}\)
Wiem, że należy sprawdzić addytywność i jednorodność, bardzo proszę o rozwiązanie krok po kroku.

Widząc tak sformułowaną treść zadania pierwsze, co mi przychodzi do głowy, to nie wskazówki, a prośba o dokładne przepisanie treści zadania. Żadne z powyższych wyrażeń nie ma sensu (ich właściwy można zgadywać, co koledzy robili wcześniej).

Jeżeli masz operator, to masz dziedzinę, przeciwdziedzinę oraz przepis na operator. To wydaje mi się być krokiem pierwszym ku rozwiązaniu tego zadania...

[liu]

To wygląda na zadanie ze wstępu do mechaniki kwantowej. W takim kursie bardzo grzecznie unika się mówienia o rzeczach typu 'dziedzina operatora', bo operatory pojawiające się w MK są zwykle nieciągłe i mówienie o tym ściśle jest praktycznie niemożliwe na takim poziomie.

[Wiora]

Jest to zadanie z chemii, potrzebuje operatorów do chemii kwantowej. Wątpię żeby dla chemika dziedzina czy przeciwdziedzina były istotne. Dokładna treść brzmi: "sklasyfikuj podane operatory jako liniowe lub nieliniowe". Na wykładzie podawano nam tylko addytywność i jednorodność, nigdy nie widziałam tego w praktyce.-- 8 paź 2013, o 17:56 --Naprawdę nikt nie pomoże?