Dwa małe dowodziki z aksjomatów liczb rzeczywistych

[kmph]

a) Wykazać, że \(\displaystyle{ \forall_{a\in R}a\cdot a \ge 0}\)
Ja to rozbijam na 2 przypadki.
1. \(\displaystyle{ a\ge 0}\). Na mocy aksjomatu \(\displaystyle{ \forall_{x,y,z\in R}\left(x\le y \wedge 0\le z\right)\Rightarrow x\cdot z\le y\cdot z}\) mamy w szczególności \(\displaystyle{ \left(0\le a\wedge0\le a\right)\Rightarrow0\cdot a\le a\cdot a\Rightarrow0\le a\cdot a}\), wiem jak dowieść z aksjomatów, że \(\displaystyle{ forall_{ain R} acdot 0=0cdot a=0[ ex].
2. \(\displaystyle{ a<0}\) No i tutaj już nie wiem, jak to zrobić. Jakaś podpowiedź?

b) Wykazać, że \(\displaystyle{ \forall_{x,y\in R^{\ast}}x\cdot y \neq 0\mbox{, gdzie } R^{\ast}=R\setminus \left\{ 0\right\}}\). Podobno należy wykorzystać aksjomat, że \(\displaystyle{ 0\neq 1}\). Jakaś podpowiedź?

Z góry dzięki.}\)

[liu]

b) skoro \(\displaystyle{ x,y\in \mathbb{R}^*}\), to istnieją elementy odwrotne \(\displaystyle{ x^{-1},y^{-1}}\). Gdyby \(\displaystyle{ xy=0}\), to (mnożąc tę równość przez elementy odwrotne stronami) \(\displaystyle{ x^{-1}xyy^{-1} = x^{-1}y^{-1}0 = 0}\), skąd \(\displaystyle{ 1=0}\).