Kiedy pojawiają się diady?

[zanka]

No więc tak. Czytam wykład o diadach. I leci tak:
1 Mamy odwzorowanie afiniczne, np \(\displaystyle{ \vec{r}}\) na \(\displaystyle{ \vec{r} _{1}}\):
\(\displaystyle{ \vec{r} _{1} = \vec{r} \cdot \vec{a} _{1} ^{*} \vec{b} _{1} + \vec{r} \cdot \vec{a} _{2} ^{*} \vec{b} _{2} + \vec{r} \cdot \vec{a} _{3} ^{*} \vec{b} _{3}}\)
ale też:
\(\displaystyle{ \vec{r} _{1} = \vec{b} _{1}\vec{a} _{1} ^{*} \cdot \vec{r} + \vec{b} _{2}\vec{a} _{2} ^{*} \cdot \vec{r} + \vec{b} _{3}\vec{a} _{3} ^{*} \cdot \vec{r}}\)
Te z gwiazdkami to wektory bazy odwrotnej. Ponieważ wyszliśmy od wektorów
\(\displaystyle{ \vec{r} _{1} = x\vec{b} _{1} + y\vec{b} _{2} + z\vec{b} _{3}}\),
\(\displaystyle{ \vec{r} = x\vec{a} _{1} + y\vec{a} _{2} + z\vec{a} _{3}}\),
gdzie np: \(\displaystyle{ x = \vec{r} \cdot \vec{a} _{1} ^{*}}\),
więc pomiędzy \(\displaystyle{ \vec{b}}\) a \(\displaystyle{ \vec{r} \cdot \vec{a} _{1} ^{*}}\) jest zwykłe mnożenie skalarne.

Więc pytanie 1: dlaczego w trym drugim równaniu na \(\displaystyle{ \vec{r} _{1}}\) jest odwrócony szyk? Przecież mnożenie skalarne jest przemienne.

2. Teraz zapisujemy to ogólnie w postaci:
\(\displaystyle{ \vec{r} _{1} = \vec{r} \cdot \vec{A} _{1} \vec{B} _{1} + \vec{r} \cdot \vec{A} _{2} \vec{B} _{2} + \vec{r} \cdot \vec{A} _{3} \vec{B} _{3}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \vec{r} _{1} = \vec{B} _{1}\vec{A} _{1} \cdot \vec{r} + \vec{B} _{2}\vec{A} _{2} \cdot \vec{r} + \vec{B} _{3}\vec{A} _{3} \cdot \vec{r}}\)

Dalej mamy to rozróżnienie, choć wyszliśmy od iloczynu skalarnego (przemiennego).

3. Wyłączamy \(\displaystyle{ \vec{r}}\) przed nawias, to co w nawiasie, nazywa się teraz diadą \(\displaystyle{ F}\), przy czym
\(\displaystyle{ \vec{r} \cdot F \neq F \cdot \vec{r}}\)

Pytanie 2: dlaczego to mnożenie nie jest przemienne, skoro wyszliśmy od iloczynu skalarnego:
\(\displaystyle{ x = \vec{r} \cdot \vec{a} _{1} ^{*}}\) - to iloczyn skalarny, podstawiony do \(\displaystyle{ x \vec{a} _{1}}\) co jest mnożeniem liczby przez wektor.
Mamy więc pierwszy czynnik: \(\displaystyle{ \vec{r} \cdot \vec{a} _{1} ^{*} \vec{b} _{1}}\) czyli
\(\displaystyle{ x}\) (skalar), pomnożony przez wektor \(\displaystyle{ \vec{b} _{1}}\) , czyli otrzymujemy wektor.
Jeśli wyłączymy wektor przed nawias, to w nawiasie będzie suma iloczynów skalarnych wektorów, czyli skalarów, a więc powinno to być przemienne (mnożenie wektora przez diadę - skalar).

A nie jest, stąd pytanie 3: w którym momencie pojawił się tu iloczyn diadyczny i dlaczego, skoro wyszliśmy od iloczynu skalarnego?

[Kartezjusz]

To wynika z konwencji, że w mnożeniu pierwszy piszemy wektor, który widzimy od prawej strony.
Jako,że \(\displaystyle{ \vec{BA}=- \vec{AB}}\) widzimy,że wektory zamienią się miejscami.
Poza tym iloczyn skalarny jest przemienny tylko w przestrzeniach zwrotnych .Zazwyczaj
\(\displaystyle{ \vec{a} \cdot \vec{b}=\overline{ \vec{b} \cdot \vec{a}}}\)
Nie ma założenia,ze jesteśmy w przestrzeni euklidesowej.
Z tą diadą, to czy to na pewno liczba?

[zanka]

Dziękuję, że chcesz mi pomóc

Chyba jednak zbyt zawiło napisałam i nie widać, którego momentu nie rozumiem.
Żeby było jaśniej, zrobię dwie rzeczy - podam źródło ze stronami, bo może masz, i będę pisać o jednej składowej wektora, np. iksowej. Bardziej przejrzyście i mniej pisania.
E. Karaśkiewicz - Zarys Teorii Wektorów i Tensorów

s. 127
"Z poprzedniego rozdziału wiemy, że współrzędne wektora przy dowolnej podstawie \(\displaystyle{ ( \vec{a} _{1} \vec{a} _{2} \vec{a} _{3} )}\)dadzą się przedstawić jako iloczyny skalarne wektora przez wektory podstawy odwrotnej":
\(\displaystyle{ x= \vec{r} \cdot \vec{a} _{1} ^{*}}\)
Ponieważ współrzędna iksowa \(\displaystyle{ \vec{r} _{1}}\) to \(\displaystyle{ x \vec{b} _{1}}\)
mamy współrzędną iksową \(\displaystyle{ \vec{r} _{1}}\) równą:
\(\displaystyle{ \vec{r} \cdot \vec{a} ^{*} _{1} \vec{b} _{1}}\)
albo
\(\displaystyle{ \vec{b} _{1} \vec{a} ^{*} _{1} \cdot \vec{r}}\)

To rozumiem. Bo mamy ów iloczyn skalarny
\(\displaystyle{ \vec{r} \cdot \vec{a} _{1} ^{*}}\) który daje w wyniku (jak to iloczyn skalarny) liczbę, pomnożoną przez wektor \(\displaystyle{ \vec{b} _{1}}\)
Dla wygody można by to zapisać w nawiasie:
\(\displaystyle{ \left(\vec{r} \cdot \vec{a} ^{*} _{1}\right) \vec{b} _{1}}\)

To, co w nawiasie, możemy zamieniać ze względu na przemienność iloczynu skalarnego (s. 83: \(\displaystyle{ \vec{a} \vec{b} = \vec{b} \vec{a}}\) ) a to, co poza nawiasem, dać przed nawias, bo w nawiasie powstanie nam liczba i nie ma znaczenia, czy zapiszemy ją przed czy za wektorem. Dlatego teraz już to przestawienie rozumiem, może być iksową współrzędną również
\(\displaystyle{ \vec{b} _{1} \left( \vec{a} ^{*} _{1} \cdot \vec{r}\right)}\)

Niestety, dalej są schody:
1. s. 131 mówi "Wektory
\(\displaystyle{ \vec{a} ^{*} _{1} \vec{a} ^{*} _{2} \vec{a} ^{*} _{3}}\) są zupełnie dowolne"
A to nie jest prawda, bo na s. 123 była mowa, że skoro w ogóle ma istnieć podstawa odwrotna, to jej iloczyn mieszany ma być różny od zera a to wyklucza "dowolność".
mamy tu też uogólnienie funkcji liniowej wektora, czyli:
\(\displaystyle{ \vec{r} _{1} = \vec{r} \cdot \vec{A} _{1} \vec{B} _{1} + \vec{r} \cdot \vec{A} _{2} \vec{B} _{2} + \vec{r} \cdot \vec{A} _{3} \vec{B} _{3}}\)
albo
\(\displaystyle{ \vec{r} _{1} = \vec{B} _{1}\vec{A} _{1} \cdot \vec{r} + \vec{B} _{2}\vec{A} _{2} \cdot \vec{r} + \vec{B} _{3}\vec{A} _{3} \cdot \vec{r}}\)

2 Wracamy do tych równań na stronie 134 i tutaj już \(\displaystyle{ \vec{A} _{1} \vec{B} _{1}}\) zachowują się jak iloczyn diadyczny.
Skąd się to wzięło?
Powyżej użyłam nawiasu dla wygody. I w zasadzie w nawiasie być powinno. Tymczasem na tej stronie nawias zostaje jakoś dziwnie rozbity. Już nie mnożymy liczby z nawiasu (bo iloczyn skalarny da liczbę) przez wektor, tylko likwidujemy nawias, dwa wektory \(\displaystyle{ \vec{A} _{1} \vec{B} _{1}}\) łączymy - stawiamy obok siebie i mnożymy to ich ustawienie skalarnie przez wektor \(\displaystyle{ \vec{r}}\)
I to ich ustawienie zachowuje się jak iloczyn diadyczny, czyli jest np. nieprzemienne.
I skąd się to wzięło? Tak po prostu usunęliśmy nawias i "zestawienie" dwu wektorów nazwaliśmy iloczynem diadycznym?

[Kartezjusz]

1.Taki jak w przestrzeni liniowej możemy wyznaczyć wiele baz, tak możmy wyznazyć wiele podstaw.
2.To jest po prostu konstrukcja określenia. Niektóre rzeczy definiuje się . "sdffsfsfwvc nazwijmy obiekt..."
A inne przez konstrukcję...

[zanka]

Bardzo dziękuję!
To już mi rozjaśniło wszystko - po prostu definicja, a bałam się, że coś zgubiłam po drodze.
Dla pewności policzyłam na zmiennych iloczyn "normalnie" oraz rozbijając nawias - tworząc diadę - otrzymałam wektor o takich samych współrzędnych.
Jeszcze raz dziękuję, temat do zamknięcia.