Bazy przestrzeni i przestrzeni ortogonalnej

[wizard8912]

Witam.

Mam do zrobienia takie zadanie:

Wyznaczyć bazę przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) i bazę przestrzeni ortogonalnej do \(\displaystyle{ V}\).

\(\displaystyle{ V=lin\left\{ \left[ 1,1,-1,2\right], \left[ 2,1,3,3\right], \left[ 1,0,4,1\right], \left[ 0,1,-5,1\right] \right\}}\)

Bardzo proszę o pomoc w tych poleceniach.

[yorgin]

Zacznij od sprawdzenia liniowej niezależności wektorów generujących \(\displaystyle{ V}\). Jeżeli są liniowo niezależne, to ortogonalizujesz. Jeżeli nie - szukasz tego, który jest zależny od pozostałych.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ [2,1,3,3]-[1,1,-1,2]=[1,0,4,1]}\)

[wizard8912]

Utworzyłem macierz z tych wektorów:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&2&1&0\\1&1&0&1\\-1&3&4&-5\\2&3&1&1\end{array}\right]}\)

Po przekształceniach otrzymałem:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&1&1&-1\\-1&-2&-1&0\end{array}\right]}\)

I wydaje mi się, że jest to źle, ale cały czas do tego dochodzę... Straciłem już na tym mnóstwo czasu, dlatego proszę o podpowiedź czy jest to dobrze i jeśli tak to co zrobić z tym dalej?

[yorgin]

Ustawiasz wektory kolumnowo, a zerujesz wierszowo. Do tego nie wiem, dlaczego została Ci macierz mniejszego wymiaru - co najwyżej dwa ostatnie wiersze powinny być zerami.

Macierz jest faktycznie drugiego rzędu i pomijając moją uwagę o wymiarze macierzy faktycznie daje się wyzerować dwa ostatnie wiersze. Stąd masz wniosek jaki?

Wybierz sobie teraz maksymalną liczbę wektorów liniowo niezależnych - to Twoja baza. Teraz skorzystaj z warunku na ortognonalność by wyznaczyć ogólną postać wektora prostopadłego do \(\displaystyle{ V}\).

[wizard8912]

Kolumnowo ustawiać, zerować wierszami, to chyba dobrze zrobiłem?

Czy z tej macierzy po przekształceniach wynika coś istotnego poza rzędem macierzy?

Macierz jest rzędu drugiego, czyli mam 2 liniowo niezależne wektory, tak? Mogę teraz wybrać dowolne dwa wektory z przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) podane w treści zadania? One będą bazą \(\displaystyle{ V}\)

Wezmę trzeci i czwarty, więc teraz, żeby znaleźć bazę przestrzeni ortogonalnej, muszę szukany wektor \(\displaystyle{ \left[ a,b,c,d\right]}\) pomnożyć skalarnie przez wektory bazowe \(\displaystyle{ V}\) i przyrównać to do zera?

[Kamaz]

Kolumnowo ustawiać, zerować wierszami, to chyba dobrze zrobiłem?

Jak najbardziej. Dla samego zbadania rzędu macierzy można równie dobrze ustawiać wektory wierszowo i zerować wierszami, ale wtedy ostatecznie nie wiadomo, które z oryginalnych wektorów tworzyły bazę. Dlatego ja preferuję Pańską metodę.

[yorgin]

Kolumnowo ustawiać, zerować wierszami, to chyba dobrze zrobiłem?

W zasadzie nie ma znaczenia, czy zerujemy wiersze, czy kolumny, ale jeżeli ustawiamy kolumnami i zerujemy kolumny, to...

Czy z tej macierzy po przekształceniach wynika coś istotnego poza rzędem macierzy?

te kolumny, które nie wyjdą zerowe, wyznaczają jednocześnie liniowo niezależne wektory. Ja preferuję taką metodę, ale każda prowadząca do celu jest poprawna. W tym przypadku przy dwóch wektorach po prostu widać, które wektory są liniowo niezależne.

Macierz jest rzędu drugiego, czyli mam 2 liniowo niezależne wektory, tak? Mogę teraz wybrać dowolne dwa wektory z przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) podane w treści zadania? One będą bazą \(\displaystyle{ V}\)

Tak, są dwa liniowo niezależne wektory. Wybierasz nie tyle dwa dowolne, co dowolne dwa liniowo niezależne wektory. I to jest Twoja baza.

Wezmę trzeci i czwarty, więc teraz, żeby znaleźć bazę przestrzeni ortogonalnej, muszę szukany wektor \(\displaystyle{ \left[ a,b,c,d\right]}\) pomnożyć skalarnie przez wektory bazowe \(\displaystyle{ V}\) i przyrównać to do zera?

Trzeci i czwarty bierzesz jako bazę? Chyba o to Ci chodziło... Dalej metoda jest poprawna - po przyrównaniu do zera rozwiązujesz układ równań, którego bazą będą dwa liniowo niezależne wektory. To będzie Twoja baza przestrzeni ortogonalnej do \(\displaystyle{ V}\).

[Kamaz]

Czy z tej macierzy po przekształceniach wynika coś istotnego poza rzędem macierzy?

Kolumny, które były liniowo niezależne (zależne) na początku, w wynikowej macierzy nadal są liniowo niezależne (zależne).

Mogę teraz wybrać dowolne dwa wektory z przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) podane w treści zadania? One będą bazą \(\displaystyle{ V}\)

W tym wypadku dowolne. W ogólnym przypadku trzeba je tak wybrać, aby były liniowo niezależne.-- 24 wrz 2013, o 20:38 --

te kolumny, które nie wyjdą zerowe, wyznaczają jednocześnie liniowo niezależne wektory.

Słusznie. Jeśli chcemy znaleźć jakąkolwiek bazę, to jest to równie dobra metoda. Inaczej jest, gdy chcemy wybrać bazę z podanych wektorów, ale tutaj tak nie jest.

[wizard8912]

Dziękuję za odpowiedzi.

Mam jeszcze jedno proste pytanie; bazę zapisuję jako zwykły zbiór czy powłokę liniową \(\displaystyle{ lin}\)?

[yorgin]

Baza to zwykły zbiór. \(\displaystyle{ \mbox{lin}\{\ldots\}}\) to już przestrzeń liniowa rozpięta na jakichś wektorach.