Układ wektorów uzupełnić do bazy przestrzeni R4

[wizard8912]

Witam.

Mam takie zadanie:

Układ

\(\displaystyle{ \left[ 1,1,0,2\right], \left[ 0,0,1,0\right], \left[ -1,3,0,1\right]}\)

uzupełnić do bazy ortogonalnej przestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\)

W jaki sposób to zrobić? Bardzo proszę o pomoc.

[miodzio1988]

Czyli czego dokładnie potrzebujesz?

[wizard8912]

Zapewne jeszcze jednego wektora liniowo niezależnego z pozostałymi, ale jak go znaleźć?

[yorgin]

Dobierz byle jaki wektor \(\displaystyle{ [a,b,c,d]}\) i sprawdź, kiedy wyznacznik macierzy powstałej z zestawienia wektorów jest niezerowy.

[wizard8912]

Utworzyłem macierz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&-1&a\\1&0&3&b\\0&1&0&c\\2&0&1&d\end{array}\right]}\)

Druga kolumna jest wyzerowana. Policzyłem dalej i wyznacznik wyszedł: \(\displaystyle{ 5a+3b-4d}\)...

Co z tym zrobić?

[Kartezjusz]

Do bazy to powiedzieliście, a ortogonalnej, to względem jakiego iloczynu skalarnego, bo wedle standartowego nie ma szans Iloczyn pierwszego i trzeciego będą niezerowe.

[wizard8912]

Na początku miałem wektory:

\(\displaystyle{ v_{1}=\left[ 1,1,0,2\right] , v_{2}=\left[ 2,2,1,4\right], v_{3}=\left[ 1,5,2,3\right]}\)

Całe zadanie polegało na tym, żeby te wektory zortogonalizować (wynikiem są wektory z posta na samej górze), a następnie otrzymany układ uzupełnić do bazy ortogonalnej \(\displaystyle{ R^{4}}\)

[Kartezjusz]

Masz więc zależność jaką spełniają współczynniki( z niezerowości wyznacznika. Dodaj jeszcze ortogonalność z każdym z tych wektorów.

[wizard8912]

Działa, dzięki wielkie! -- 24 wrz 2013, o 15:26 --A mam jeszcze pytanie do innego zadania:

Wyznaczyć wektor o długości \(\displaystyle{ 1}\) ortogonalny do przestrzeni

\(\displaystyle{ V=lin{\left[ 1,1,1,1\right], \left[ 0,3,1,0\right],\left[ -1,1,1,0\right] }}\). Ile jest takich wektorów?

Czy to oznacza, że mam znaleźć wektor ortogonalny do każdego z tamtych 3 wektorów, a następnie podzielić go przez długość?