metody numeryczne- wektory własne

[keymil12]

Męczę się z przedstawionym zadaniem od rana. Ze wskazówki doszedłem do metody Jacobiego, ale to raczej zbyt czasochłonne na egzaminie. Myślę, że jest tu jakaś dużo prostsza metoda.

Dane są dwa wektory rzeczywistej macierzy symetrycznej oraz jeden element trzeciego wektora własnego. Obliczyć pozostałe elementy trzeciego wektora. Wskazówka: skorzystać z właściwości wektorów własnych macierzy symetrycznej.

A
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}5&2&0\\2&3&2\\0&2&1\end{array}\right]}\)

X1
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0,211\\-0,577\\0,789\end{bmatrix}}\)

X2
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0,577\\-0,577\\-0,577\end{bmatrix}}\)

X3
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} ...\\...\\-0,211\end{bmatrix}}\)

[torus]

Wektory własne macierzy symetrycznej są ortogonalne. To daje nam układ równań którego niewiadomymi są nieznane elementy trzeciego wektora własnego:
\(\displaystyle{ \begin{cases}0.211x-0.577y=0.789\cdot0.211\\0.577x-0.577y=-0.577\cdot0.211\end{cases}}\)
Rozwiąż układ jak chcesz

[keymil12]

W obu równaniach po prawej stronie przed 0,211 nie powinien być znak minus?

[torus]

Nie, mamy np. \(\displaystyle{ X_1\cdot X_3=0.211x-0.577y-0.211\cdot 0.789}\). Potem przenosimy na prawą stronę i stąd zmieniony znak.